Розкладання визначника

Визначник n-го порядку виражається через елементи довільного його рядка чи стовпця в такий спосіб:

,

де – алгебраїчне доповнення елемента (1.3.9). Ці співвідношення дозволяють представити визначник n-го порядку через визначники (n-1)-го порядку. При обчисленнях доцільно розкладати визначник по рядку, чи по стовпцю, що має більшу кількість нульових елементів. Наприклад, розкладаючи даний визначник по елементах другого стовпця, маємо:

.

Розкладаючи визначники третього порядку, одержуємо:

Другий визначник виявився рівним нулю, тому що його третій стовпець дорівнює сумі першого і другого (властивість 2). Таким чином, знаходимо

Узагальненням викладеного методу є розкладання Лапласа по декільком рядкам чи стовпцям. Нехай задані будь-які k рядків (чи стовпців) визначника . Тоді цей визначник можна представити як суму добутків деяких мінорів k-го порядку, розташованих у цих рядках (чи стовпцях) на їхні алгебраїчні доповнення, тобто

,

де s — сума номерів рядків і стовпців, що беруть участь у формуванні мінору (чи ,). Очевидно, число доданків у цій сумі дорівнює (деякі з них можуть дорівнювати нулю). Наприклад, розкладаючи приведений вище визначник по першому і другому стовпцях, маємо:

Приведені співвідношення рідко використовуються безпосередньо для обчислення визначників, але вони надзвичайно корисні при обґрунтуванні різних методів. Приведемо також вираз, що узагальнює розкладання по елементах рядка чи стовпця: