Динамика вращательного движения твердого тела

4.1. Однородный стержень длиной l = 1 м и массой m = 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением ε вращается стержень, если на него действует момент сил М = 98,1 мН·м? Момент сил трения равен М_тр = 32,5 мН·м. Определить через 1 минуту после начала вращения: 1) число оборотов, сделанных стержнем, 2) кинетическую энергию и момент импульса стержня?

4.2. К ободу однородного сплошного диска массой m = 10 кг, насажанного на ось, приложена постоянная касательная сила F = 30 H. Определить кинетическую энергию и момент импульса диска через время t = 4 с после начала действия силы.

4.3. Маховое колесо, момент инерции которого I = 245 кг·м², вращается с частотой n = 20 об/с. Через время t = 1 мин после того, как на колесо перестал действовать момент сил М, оно остановилось. Найти момент сил трения М_тр и число оборотов N, которое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил. Колесо считать однородным диском. Какое значение имели кинетическая энергия и момент импульса колеса в начале торможения?

4.4. Шар радиусом R = 10 см и массой m = 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению φ = А + Вt² + Сt³ (В = 2 рад/с², С = –0,5 рад/с³). Определить момент сил М для t = 3 с, если постоянный момент сил трения равен М_тр = 40 мН·м. Сколько оборотов сделает и какую кинетическую энергию и момент импульса приобретет шар за 2 минуты?

4.5. Вентилятор вращается с частотой n = 600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав N = 50 оборотов, остановился. Работа А сил торможения равна 31,4 Дж. Определить: 1) момент М сил торможения; 2) момент инерции I вентилятора, 3) момент импульса, которым обладал вентилятор до выключения.

4.6. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого I = 150 кг·м², вращается с частотой n = 240 об/мин. Через время t = 1 мин, как на маховик стал действовать момент сил торможения, он остановился. Определить: 1) момент М сил торможения; 2) число оборотов маховика от начала торможения до полной остановки, 3) кинетическую энергию и момент импульса маховика до торможения.

4.7. К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м приложена постоянная касательная сила F = 400 H. При вращении диска на него действует момент сил трения М_тр = 2 Н·м. Определить массу m диска, если известно, что его угловое ускорение ε постоянно и равно 16 рад/с². Сколько оборотов сделает и какую кинетическую энергию и момент импульса приобретет диск за полминуты?

4.8. Частота вращения n_o маховика, момент инерции I которого равен 120 кг·м², составляет 240 об/мин. После прекращения действия на него вращающего момента маховик под действием сил трения в подшипниках остановился за время t = π мин. Считая трение в подшипниках постоянным, определить момент М сил трения. Сколько оборотов сделал маховик и какую кинетическую энергию и момент импульса имел через 1 минуту после начала торможения?

4.9. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого I = 1,5 кг·м², вращаясь при торможении равнозамедленно, за время t = 1 мин уменьшил частоту своего вращения с n₀ = 240 об/мин до n = 120 об/мин. Определить: 1) угловое ускорение ε маховика; 2) момент М силы торможения; 3) работу торможения А, 4) начальный и конечный момент импульса диска.

4.10. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 50 cм намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 6,4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением а = 2 м/с². Определить: 1) момент инерции I вала; 2) массу М вала, 3) кинетическую энергию и момент импульса вала.

4.11. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 20 см, момент инерции которого I = 0,15 кг·м², намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения вала высота h груза над полом составляла 2,3 м. Определить: 1) время опускания груза до пола; 2) силу натяжения нити; 3) кинетическую энергию груза и вала в момент удара о пол, 4) массу вала, 5) момент импульса вала в момент удара о пол.

4.12. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой m = 0,2 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами m₁= 0,35 кг и m₂ = 0,55 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определить: 1) ускорение грузов; 2) отношение T₂/T₁ сил натяжения нити, 3) кинетическую энергию блока через 10 с после начала вращения.

4.13. Две гири с разными массами соединены нитью, перекинутой через блок, момент инерции которого I = 50 кг×м² и радиус R = 20 см. Момент сил трения вращающегося блока М_тр = 98,1 Н×м. Найти разность сил натяжения нити Т₁ - T₂ по обе стороны блока, если известно, что блок вращается с угловым ускорением ε = 2,36 рад/с². Блок считать однородным диском. Найти кинетическую энергию и момент импульса блока через 1 минуту после начала вращения.

4.14. По ободу шкива, насаженного на общую ось с маховым колесом, намотана нить, к концу которой подвешен груз массой m = 1 кг. На какое расстояние h должен опуститься груз, чтобы колесо со шкивом получило частоту вращения n = 60 об/мин? Момент инерции колеса со шкивом I = 0,42 кг×м², радиус шкива R = 10 см. Найти кинетическую энергию и момент импульса шкива через 20 с после начала вращения.

4.15. На барабан массой m₀ = 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2 кг. Найти ускорение а груза. Барабан считать однородным цилиндром. Трением пренебречь. Найти кинетическую энергию и момент импульса шкива через полминуты после начала вращения.