Классификация четырехугольников.

Выпуклые многоугольники.

Многоугольник — фигура, образованная на плоскости замкнутой ломаной линией.

Выпуклый многоугольник — если он расположен по одну сторону от любой своей стороны, неограниченно продолженной.

Правильный многоугольник — все стороны и все углы равны между собой.

Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n - 2)180°.

Диагоналями называются отрезки, соединяющие две вершины многоугольника не принадлежащие одной его стороне

Если биссектрисы всех углов многоугольника пересекаются в одной точке О, то в него можно вписать окружность с центром в точке О.

Если перпендикуляры, восстановленные к серединам всех сторон

многоугольника, пересекаются в одной точке О, то вокруг него можно описать окружность с центром в О.

Для правильных многоугольников точки пересечения биссектрис всех углов и перпендикуляров, восстановленных к серединам всех сторон, совпадают.

Многоугольник называется вписанным, если все его вершины лежат
на окружности. Окружность — описанная около многоугольника.
Многоугольник — описанный, если все его стороны касаются
окружности. Окружность — вписанная в многоугольник.
Во всяком описанном четырёхугольнике суммы противополож­ных сторон равны, между собой.

Во всяком вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°. Справедливы и обратные утверждения.

Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей:

, , ,где R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности, n – число сторон многоугольника, a_n – сторона многоугольника.

При n=3

n=4

n=6

Окружность и круг.

Окружность — геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки, называемой центром окружности, г — радиус. Хорда — часть секущей, лежащая внутри окружности. Диаметр — хорда, проходящая через центр (наи­большая из хорд) d = 2r. Дуга — часть окружности. Диаметр, ^ к её хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Дуги, заключённые между || хордами, равны.

Круг — часть плоскости, заключённая внутри окружности. Сектор радиусами. Касательная окружностью и лежащая в её плоскости, общая точка — точка касания (М). Длина касательной — AM. Касательная, ^ к радиусу, диаметру. Из точки вне круга можно провести две касательные к окружности, их длины равны.

Углы в круге

Центральный угол — образованный двумя радиусами ÐEOD. Вписанный угол — образованный двумя хордами, исходящими из одной точки, ÐАВС. Дуги и углы измеряются градусами, радианами. Центральный угол измер­яется дугой на которую он опирается ÐEOD = ÈED. Вписанный угол измеряется так: ÐАВС = ÈАС/2; Все вписанные в данную окружность углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой. Вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой.

С — длина окружности. C=pD = 2pR. Точное значение p (ограниченное сорок одним знаком) будет:

л = 3,1415926535897932384626433832795028841971...

Длина дуги окружности: l = (pn°R)/180° , или l = jR, где p° — градусные измерения дуги, j — радианные измерение дуги.

Площадь круга. s = pR² = pD⁴/4.

Площадь сектора: S_ceкт = (pn°R/180°)(R/2)= jR²/2, n° и j — градусное и радианное измерение дуги сектора.

Параллельные прямые.

Параллельными называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Свойства || прямых:

Все прямые, параллельные некоторой прямой, параллельны между собой.

Две || прямые составляют угол равный 0.

Все прямые, лежащие в одной плоскости и перпендикулярные
к одной и той же прямой, || между собой.

Если две || прямые пересечь третьей, то образуется 8 углов:

1.Соответственные углы (Ð1 и Ð5, Ð4 и Ð8, Ð2 и Ð6, Ð3 и Ð7).

Соответственные углы попарно равны

2) 2.Внутренние накрестлежащие углы (Ð3 и Ð5, Ð4 и Ð6). Эти углы попарно равны.

3.Внешние накрестлежащие углы (Ð1 и Ð7, Ð2 и Ð8). Эти углы также попарно равны.

4.Внутренние односторонние углы (Ð4 и Ð5, Ð3 и Ð6). Односторонние углы попарно в сумме составляют 180°.

5.Внешние односторонние углы (Ð1 и Ð8, Ð2 и Ð7). Эти углы попарно в сумме так же составляют 180°.

Обратные утверждения.

Две прямые ||, если при пересечении их третьей, окажется, что:

1) соответственные утлы равны.

2) накрестлежащие углы равны.

3) сумма каких-нибудь двух внутренних или двух внешних
односторонних углов равна 180°.

Перпендикуляр и наклонная.

a – прямая, A – точка не Î a, b – прямая ^ a, точка A Î b, Н – точка пересечения a и b.

AH – перпендикуляр, H – основание перпендикуляра.

M – точка Î прямой a. Точки M и H не равны, тогда AM- наклонная, точка M – основание наклонной, отрезок HM – проекция наклонной AM на прямую a.

Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую – единственный, наклонных – бесконечно много.

Длина перпендикуляра меньше длины любой наклонной.

Векторы на плоскости.

Векторомназывается направленный отрезок.

Вектор характеризуется начальной точкой направлением и длиной.

Длина вектора – это длина отрезка, изображающего вектор.

Если начало вектора совпадает с концом, то это нулевой вектор. Любая точка считается нулевым вектором.

Векторы называются соноправленными, если они одинаково направлены и лежат на одной или параллельных прямых.

Векторы называются противоположно направленными, если они имеют разное направление, и лежат на одной или параллельных прямых.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Два вектора равны, если они соноправленны и имеют одинаковую длину.

Два вектора называются противоположными, если они противоположно направленные и имеют одинаковую длину.

Если существуют такие числа x и y, что

То говорят, что вектор разложен по векторам и .

Координаты вектора:

- единичные векторы. Если , то x и y – координаты вектора

Координаты равных векторов соответственно равны. Если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.

Если A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), то

Сложение векторов.

Правило треугольника: - векторы. Отмечаем произвольную точку A, откладываем от нее вектор , от его конца откладываем вектор , соединяем начало первого вектора и конец второго, полученный вектор равен сумме векторов и .

Правило параллелограмма: - векторы. Отмечаем произвольную точку A, откладываем от нее вектор , и вектор . На них как на сторонах строим параллелограмм. Соединим точку A и противопо-ложную вершину параллелограмма, т. е. строим диагональ паралле-лограмма. Полученный вектор и будет суммой векторов и .

Правило многоугольника (для нескольких векторов): Отмечаем произвольную точку A, откладываем от нее первый вектор, от его конца – второй вектор, от его конца – третий вектор, и т. д. Соединяем начало первого вектора и конец последнего. Полученный вектор и есть сумма всех данных векторов.

Свойства сложения векторов:

· ;

·

·

Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором даст вектор .

Для любых векторов и справедливо равенство:

Если , то ,

Произведениемненулевого вектора на число k называется такой вектор длина которого равна , причем векторы и соноправленны при k ³0 и противоположно направлены при k < 0. Произведением нулевого вектора и числа считается нулевой вектор. Произведением любого вектора и числа 0 считается нулевой вектор.

Свойства произведения вектора и числа:

и - векторы, k и l – числа.

·

·

·

Если вектор (x, y), k – число, то

Скалярное произведение двух векторов – это число равное произведению длин векторов на косинус угла между этими векторами.