Сравнение степени возрастания показательных, степенных и логарифмических функций.
Для любого и для любого натурального n имеет место соотношение
а также соотношение
Для доказательства этих соотношений следует применить правило Лопиталя достаточно количество раз. Эти соотношения обобщаются на случай, когда -- любое действительное число.
Пример.
Формула Тейлора
Ставится задача приблизить (аппроксимировать) функцию в окрестности точки
многочленом степени n. Для n=1 мы уже нашли решение:
. Удобно точкой отсчета считать нулевую точку, т.е. от координат
мы переходим к приращениям
и
. Ряд
представляется из себя семейство бесконечно малых величин, каждая последующая из которых есть б.м. большего порядка, чем предыдущая. Поставим задачу о разложении вида
где остаточный член есть б.м. высшего порядка по сравнению с
. Деля (1) на
и устремляя
получаем
. Найдем другие коэффициенты в этом разложении:
Локальная формула Тейлора.Пусть функция дифференцируема в окрестности точки
n раз, и n-ая производная непрерывна в точке
. Тогда
Доказательство. Применяем n раз правило Лопиталя к вычислению предела отношения
и доказываем, что этот предел равен 0.□
В условиях теоремы функция раскладывается в окрестности точки a в сумму многочлена степени ≤ n от переменной
и остаточного члена
, про который известно, что он есть величина бесконечно малая высшего порядка по сравнению с
.
Функция линейна по переменной
, она называется дифференциалом
в точке
и обозначается
Легко видеть, что
. Мы получаем «симметричный» вид дифференциала вычисленный в произвольной точке
:
Отсюда получаем, что производная равна отношению дифференциалов:
Аналогично, функция называется дифференциалом -го порядка и обозначается
. Ее симметричный вид есть
. Тогда локальная формула Тейлора в дифференциалах принимает вид:
Уточним вид остаточного члена
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.Пусть функция дифференцируема в окрестности точки
n+1 раз. Тогда для всех
достаточно близких к
найдется точка
такая, что
В частности, если , то имеет место следующая оценка остаточного члена:
Частный случай формулы Тейлора -- формула Маклорена получается при . Тогда при наличии n+1 производной в окрестности нуля, для каждого достаточно малого
найдется
такой, что
Разложение элементарных функций по формуле Маклорена
Разложение экспоненты
Для всех x∈ ℝ имеет место разложение
где
Например, если , то
Тем самым c точностью
Разложение синуса и косинуса
Для всех имеет место разложение
где
Для всех имеет место разложение
где
Бином Ньютона
Для каждого действительного числа α и для каждого определим биномиальный коэффициент
По определению полагаем также, что . Имеем:
Теорема.Для любого действительного α и для любого имеет место разложение
причем
Рассмотрим частные случаи формулы (5).
Случай α =m -- натуральное число. Тогда и мы получаем бином Ньютона
Случай . Тогда нетрудно вывести, что
. Поэтому
где
Разложение логарифма
Из (8) или непосредственно нетрудно получить
где