Касательная и нормаль к кривой.
Если кривая задана в декартовой системе координат уравнением
, то
, где
- угол между касательной к этой кривой в точке с абсциссой
и положительным направлением оси
.
Если кривая задана уравнением
, то уравнения касательной и нормали к этой кривой в точке
имеют соответственно вид:
, (1)
.
(2)
Угол между двумя кривыми
и
в точке их пересечения
определяется как угол между прямыми, касательными к этим кривым в точке их пересечения по формуле
,
(3)
где угловые коэффициенты касательных к кривым в точке их пересечения
и равны соответственно
,
.
Пример 1.Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке .
Решение. Подставляя в заданное уравнение параболы значение , находим ординату точки касания
. Находим угловой коэффициент касательной,
, следовательно,
. Подставляя найденные значение в уравнение (1), имеем уравнение касательной
, подставляя эти же значения в уравнение (2), получим уравнение нормали
.
Пример 2.Найти углы под которыми пересекаются прямая и парабола .
Решение.Найдем точки пересечения кривых, решив систему уравнений
Отсюда имеем ,
. Далее, определим угловые коэффициенты касательных к параболе в точках
и
.Соответственно имеем
,
. Угловой коэффициент прямой во всех точках один и тот же и равен в нашем случае 2. Далее находим углы
,
.
Пример 3.Определить в каких точках заданной линии касательная к этой линии параллельна прямой
и написать уравнение этой касательной
,
.
Решение. Находим производную . Далее находим значение
из уравнения
. Имеем,
.Значения функции
при
есть
и
. Отсюда имеем,
и
точки заданной линии
в которых касательная к этой линии параллельна данной прямой
. Найдем теперь уравнения этих касательных. Используя формулу (1), получим
-уравнение касательной в точке
,
-уравнение касательной в точке
.
Контрольные вопросы.
1.Геометрический смысл производной.
2.Касательная и нормаль к кривой.
3.Угол между двумя кривыми.
4.Другие приложения производной.
Задания.
1.Найти углы, под которыми пересекаются эллипс и парабола
,
.
2. Определить в каких точках заданной линии касательная к этой линии параллельна прямой
и написать уравнение этой касательной
1) ,
; 2)
,
; 3)
,
.
3.Найти угол между кривой и прямой
Занятие 8.
Интегральное исчисление.
Неопределенный интеграл.
Функция
- называется первообразной для функции
на промежутке
, если в каждой точке этого промежутка выполняется равенство
или
.
Если первообразная для функции
, то множество
, где
произвольная постоянная, называется неопределённым интегралом от функции
и обознается
=
При этом называется подынтегральной функцией.
Процесс отыскания первообразной называется интегрированием.
Свойства неопределённого интеграла:
1. ,
2. ,
3. ,
4. ,где
некоторая постоянная,
5. .
6.(Инвариантность формулы интегрирования) Если
=
,то и
=
.
Пример 1. Найти первообразную функции
.
Решение.Рассмотрим функцию
=>
.
Следовательно, первообразная есть
.
Таблица основных интегралов:
1. ,
2. при
,
3. ,
4. ,при
и
, и в частности
,
5. ,
6. ,
7. ,
8. ,
9. ,
10. ,
11. ,
12. .
Пример 2.Вычислить интеграл .
Решение.
.
Пример 3. Вычислить интеграл .
Решение.
.