Затухающие колебания. Во всякой реальной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы

Во всякой реальной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы, т.е. затуханию колебаний.

Наиболее часто встречается случай, когда сила сопротивления пропорциональна скорости, т.е.

. 7.10

Уравнение второго закона Ньютона в этом случае будет иметь вид

.

Разделим это уравнение на , введем обозначения и тогда это уравнение примет вид:

. 7.10

Решение этого дифференциального уравнения в случае малого затухания можно представить в виде:

, 7.11

где .

Гармонический множитель в этом выражении ответственен за колебание, а множитель представляет собой амплитуду колебания. Следовательно, это решение можно рассматривать как гармоническое колебание, амплитуда которого с течением времени изменяется по экспоненциальному закону (рис. 46). Затухающее колебание происходит с частотой меньшей, чем частота собственных колебаний .

Величина называется коэффициентом затухания.

Определим время в течении которого амплитуда колебания уменьшается в «е» раз. Если в момент времени амплитуда колебания , а в момент времени - , то

. 7.12

По условию , следовательно, , и

. 7.13

Коэффициент затухания численно равен обратному значению промежутка времени , в течение которого амплитуда колебания уменьшается в «е» раз.

Затухание колебаний принято характеризовать так называемым логарифмическим декрементом затухания – натуральным логарифмом отношения двух амплитуд колебания, отстоящих друг от друга на время равное периоду Т. (рис. 46).

. 7.14

Обозначим логарифмический декремент затухания буквой , т.е.

. 7.15

Так как то, для логарифмического декремента затухания получим .

Величина - число колебаний, которое должна совершить система, чтобы амплитуда колебания уменьшилась в «е» раз. Следовательно, логарифмический декремент затухания численно равен величине обратной числу колебаний, в течение которых амплитуда колебания уменьшается в «е» раз,

. 7.16

Для характеристики колебательной системы часто используют также величину

7.17

называемую добротностью системы.

Ранее мы показали, что энергия колеблющейся системы пропорциональна квадрату амплитуды. Поэтому в случае затухающих колебаний энергия системы будет изменяться по закону

. 7.18

Дифференцируя это уравнение по времени , найдем, что приращение энергии

.

Если затухание мало, то убыль энергии системы за один период . Отсюда

,

но и тогда

. 7.19

Из этого выражения следует, что при слабом затухании колебаний, добротность системы с точностью до множителя равна отношению энергии, запасенной системой в данный момент времени, к убыли этой энергии в течение одного полного колебания.