Общий характер движения жидкой частицы

Жидкая частица в противоположность твердой при движении может изменять форму, т.е. деформироваться. Поэтому, в общем случае движение жидкой частицы может быть разложено на поступательное, вращательное и деформационное.

Рассмотрим движение точки (рис. 3.5) твердого тела, вращающегося вокруг оси Z с угловой скоростью и запишем уравнения составляющих скорости точки М:

u = - w_z r∙sina = - w_z y, (3.58)

u = w_z r∙cosa = w_z x. (3.59)

Дифференцируя эти уравнения, получаем следующие выражения

. (3.60)

Суммируя левые и правые части этих выражений, получаем

. (3.61)

Тогда:

. (3.62)

По аналогии с полученным выражением, можем записать:

, (3.63)

. (3.64)

Связь между скоростями V и V₀ двух произвольных точек твердого тела (рис. 3.5б) выражается соотношением

, (3.65)

где .

Выберем в жидкой частице точки М и М₀ достаточно близкими и разложим в ряд Тейлора мгновенные значения проекций скорости u, u, w в точке М, ограничиваясь линейными членами ряда.

Для компоненты u имеем

, (3.66)

где Dx, Dy, Dz - проекции вектора , а индексом «0» отмечены значения производных в точке М₀.

Используя тождества

; (3.67)

, (3.68)

запишем выражение для u_x в виде

(3.69)

Для двух других компонент по аналогии можно получить

; (3.70)

. (3.71)

Анализируя полученные формулы, можно сделать вывод о том, что вторые и третьи члены в правой части записанных выражений образуют проекции векторного произведения некоторого вектора на радиус-вектор , причем проекциями вектора служат выражения

; (3.72)

; (3.73)

. (3.74)

Это позволяет считать, что жидкая частица, также как и твердое тело, испытывает вращение с угловой скоростью относительно некоторой мгновенной оси.

В гидромеханике, наряду с вектором , вращательное движение частиц характеризуют вектором , который называется вихрем или ротором вектора .

Очевидно, что в записанных формулах для проекций скорости жидкой частицы можно выделить проекции скорости квазитвердого движения .

, (3.75)

где , и в этом случае имеет место компонента u_деф - скорость, обусловленная деформацией жидкой частицы.

Для выяснения смысла вектора рассмотрим некоторые частные случаи движения частицы жидкости (рис. 3.6).

Пусть малый жидкий отрезок Dх движется вдоль оси Х. Скорость левого конца составляет u, а скорость правого конца . Вследствие разницы в этих скоростях за время Dt длина отрезка изменится на величину . Скорость изменения длины будет равна и, соответственно, по аналогии имеем: и , представляющие собой скорости удлинения элементарных отрезков Dy и Dz.

Производные

; ;

являются скоростями удельных линейных деформаций или скоростями удлинения отрезков единичной длины.

При рассмотрении движения жидкого отрезка Dx вдоль оси у можно сделать вывод о том, что вследствие неодинаковости скоростей отрезок Dx за время Dt переместится и повернется на угол

. (3.76)

Угловая скорость его вращения будет . По аналогии угловая скорость вращения отрезка Dy будет . Вследствие вращения отрезков Dx и Dy, образовавших вначале прямой угол, произойдет угловая деформация в плоскости «ху». Скорость угловой деформации определится суммой углов Da₁ и Da₂ и будет равна .

В гидродинамике за меру скорости угловой деформации принимают половину этой величины.

; (3.77)

; (3.78)

. (3.79)

Формулы для проекций скоростей жидкой частицы с учетом полученных выше соотношений запишутся в виде:

u = u₀ + w_yDz - w_zDy + e_xxDx +e_xyDy + e_xzDz; (3.80)

u = u₀ + w_zDx - w_xDz + e_yxDx +e_yyDy + e_yzDz; (3.81)

w = w₀ + w_xDy - w_yDx + e_zxDx +e_zyDy + e_zzDz. (3.82)

Записанные формулы выражают в теорему Коши-Гельмгольца: в общем случае движение жидкой частицы можно разложить на переносное движение с некоторым полюсом, вращательное движение с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через этот полюс, а также деформационное движение, которое заключается в линейных деформациях со скоростями e_xx, e_yy, e_zz и угловых деформациях со скоростями e_xy = e_yx, e_xz = e_zx, e_yz = e_zy.

В частных случаях некоторые из составляющих движения могут отсутствовать.