III. Векторные функции действительной переменной

Если каждому значению действительной переменной поставлен в соответствие вектор , то на множестве задана вектор-функция действительной переменной .

Задание вектор - функции равносильно заданию трех числовых функций - координат вектора :

;

Производной вектор – функции по аргументу называется новая вектор – функция:

Если вектор является радиус вектором точки , то соответствующую вектор-функцию принято обозначать:

.

Годографом вектор – функции называется линия, описываемая в пространстве концом вектора . Всякую линию в пространстве можно рассматривать как годограф некоторой вектор функции.

Параметрические уравнения годографа:

.

Производные вектор – функции имеют вид:

Физический смысл производных:

- вектор и величина скорости,

- вектор и величина ускорения конца вектора , если - время.

Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения равны:

Вектор направлен по касательной к годографу вектор – функции в сторону возрастания аргумента .

Уравнение касательной к пространственной кривой в точке , которой соответствует значение параметра , имеет вид:

где текущие координаты касательной.

Уравнение касательной к годографу вектор – функции при может быть получено из уравнения касательной к графику функции, заданной параметрически на плоскости: