Подтверждение надежности систем при экспоненциальном законе наработки на отказ

В случае экспоненциального закона распределения надежность можно оценить по соотношению

h = e^-λt

где λ – интенсивность отказа; t – требуемое время работы.

Точечная оценка надежности может быть рассчитана по соотношению

( 2.28 )

где

t_i – продолжительность i-го испытания до отказа;

к – число испытаний (полных реализаций).

Точечная оценка надежности (2.28) является случайной величиной и не дает гарантированный результат. Поэтому при решении вопросов обеспечения надежности в качестве гарантированной оценки рассмотрим нижний предел доверительного интервала вероятности безотказной работы:

( 2.29 )

где m_Нt – нижняя граница доверительного интервала для математического ожидания времени безотказной работы.

Согласно определению величина m_Нt удовлетворяет соотношению

( 2.30 )

где m_t – математическое ожидание времени безотказной работы;

β – корректировочный множитель, обеспечивающий выполнение соотношения (2.30); γ – принятый уровень доверительной вероятности.

После эквивалентных преобразований соотношение (2.30) можно представить в виде

Как известно, случайная величина подчиняется χ² – распределению с 2К степенями свободы, то есть

где χ_γ² – квантиль χ² – распределения по уровню γ.

Значения квантилей для различных уровней представлены в табл. 2.1а.

Таблица 2.1а.

Следовательно,

Отсюда

Таким образом, выражение для нижней границы m_Ht примет вид

( 2.31 )

Аналогично можно получить выражение для верхней границы доверительного интервала

Приравнивая выражения для верхней и нижней границ заданному значению времени работы t_зад и разрешая полученное соотношение относительно , получим выражения для нижней и верхней граничных кривых, определяющих области отработки элемента

(2.32)

Величина t_зад определяется из условия удовлетворения требований к надежности устройства

Отсюда

Характер изменения граничных кривых по числу испытаний для γ = 0,95 и задаваемые ими области отработки представлены на рис.2.6.

Согласно построению, попадание в верхнюю область «П» характеризует подтверждение надежности, так как для нее выполняется цепочка неравенств

Соответственно, попадание в нижнюю область «Д» показывает невыполнение требований, предъявляемых к надежности изделия, то есть

t_зад > m_Ht > m_t

При нахождении в средней области «И» никакого заключения сделать нельзя и испытания следует продолжить.