Гиперболический параболоид

Определение.Поверхность, которая в декартовой системе координат определяется уравнением: (12.7)

Называется гиперболическим параболоидом.

Исследуем уравнение (12.7).

Рассмотрим сечение плоскостью , т.е. .

- парабола симметрична относительно оси с вершнами в начале координат. Теперь рассмотрим сечения (12.7) плоскости, параллельной .

- парабола, ветви которой направлены вниз и симметрично относительно . Все эти параболы будут находится, вершинами на восходящей параболе , и как бы перемещаться вершиной по линии предыдущей параболы. Сечение гиперболического параболоида плоскостями, параллельными .

- гипербола, симметричная относительно плоскостей .

Вывод: Гиперболический параболоид имеет форму седла, обладает двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии. Точка, с которой совмещено начало координат называется вершинойгиперболического параболоида. Числа называются его параметрами.

Конус

Определение. Поверхность, которая определяется уравнением:

(12.8)

состоит из прямых, проходящих через одну точку, именно, через начало координат и называется конусом.

Заметим, что (12.8) однородно, все его члены имеют одну и ту же степень 2. Точка .

Теорема:Если некоторая точка лежит на поверхности (12.8), то все точки прямой, которые проходят через начало координат и точку М, также лежат на этой поверхности.

Прямые, из которых составлен конус, называются его образующими - вершина. Проведем сечение .

- эллипс с полуосями .

Если , то в сечении окружность и называется круглым конусом. Рассмотрим уравнение: (12.9)

Это уравнение определяет единственную действительную точку . Однако, ввиду аналогии с уравнением (12.8) его часто называют мнимого конуса.

№/п	Рисунок	Название поверхности	Уравнение поверхности
		Эллипсоид
Мнимый эллипсоид

		Однополостный гиперболоид
		Двухполостный гиперболоид

		Эллиптический параболоид
		Гиперболический параболоид

		Конус
Мнимый конус

Обобщённая таблица по теме: «Плоскость. Прямая в пространстве»