Вопрос 16.1. Числовые функции одного переменного

Общее определение функции определяет последнюю как закон соответствия между множествами X и Y. Если X и Y ‑ числовые множества, то мы получаем числовую функцию одного аргумента.

Функции можно разбить на четыре следующих класса:

1) вещественные функции вещественного аргумента,

2) комплексные функции вещественного аргумента,

3) вещественные функции комплексного аргумента,

4) комплексные функции комплексного аргумента.

Любую функцию второго типа можно представить в виде , где и ‑ вещественные функции.

В дальнейшем будем рассматривать только функции первого типа.

Определение 16.1. Графиком функции называется геометрическое место точек плоскости с координатами.

В некоторых случаях график функции может быть построен путем простых преобразований графика известной функции :

а) график функции получается сдвигом вдоль оси X на a единиц влево, если , и на a единиц вправо, если , графика ;

б) график получается растяжением в k раз, если , и сжатием в k раз, если , графика функции вдоль оси X;

в) график получается растяжением в A раз, если , и сжатием в A раз, если , графика функции вдоль оси Y;

г) график получается путем последовательного применения преобразований а) ‑ в) с учетом .

Существует три основных способа задания функции:

1) аналитический (задание формулой),

2) графический,

3) табличный (задание таблицы y и x).

Определение 16.2. Функция называется

а) монотонно возрастающей, если для всех выполняется неравенство ,

б) монотонно убывающей, если для всех выполняется неравенство ,

в) монотонно невозрастающей, если для всех выполняется неравенство ,

г) монотонно неубывающей, если для всех выполняется неравенство .

Определение 16.3. Функция называется четной, если для всех x из области определения, .

Определение 16.4. Функция называется нечетной, если для всех x из области определения, .

Определение 16.5. Функция называется периодической, если существует число такое, что .

Определение 16.6. Функция называется взаимно однозначной, если для любых выполняется неравенство .

Примеры таких функций: .

Легко видеть, что любая монотонно возрастающая или монотонно убывающая функция является взаимно однозначной. Если взаимно однозначна, то каждому значению аргумента x соответствует одно значение y. Это означает, что существует функция

,

называемая обратной к функции .

Из определения обратной функции следует, что

и

Пример 16.1. Функция обратная к функции , для них справедливы равенства

и .

График обратной функции и график функции симметричны относительно биссектрисы 1-й и 3-й четверти координатной плоскости, так как точке графика функции соответствует точка графика обратной функции (см. рис. 1).

Рис. 1. Построение графика обратной функции.

Определение 16.7. Функция , у которой аргумент является функцией , называется сложной, а сама операция получения сложной функции называется композицией.

Пример сложной функции: .

Определение 16.8. Основными элементарными функциями называются степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Определение 16.9. Элементарной функцией называется всякая функция, построенная из конечного числа основных элементарных функций, связанных между собой четырьмя арифметическими операциями и операцией композиции.

Пример 16.2. ‑ сложная функция.

Определение 16.10. Функция называется ограниченной на числовом множестве D, если для всех x из этого множества справедливо неравенство , где .

Определение 16.11. Функция называется ограниченной сверху на числовом множестве D, если для всех x из этого множества выполняется неравенство , где M некоторое число.

Определение 16.12. Наименьшее из чисел M, таких что для всех x из множества D, называется максимумом функции на множестве D.

Определение 16.13. Функция называется ограниченной снизу на числовом множестве D, если для всех x из этого множества выполняется неравенство , где M некоторое число.

Определение 16.14. Наименьшее из чисел M, таких, что для всех x из множества D, называется минимумом функции на множестве D.

Пример 16.3. Функция ограничена сверху на полуинтервале , так как на этом множестве. Максимум функции этом множестве равен 0 и достигается в точке .