Глава 6. касательные напряжения при изгибе

Предпосылки расчета

При поперечном изгибе в сечении стержня появляются не только нормальные напряжения s_z, эквивалентные изгибающему моменту :

, (6.1)

но и касательные напряжения t_zy, эквивалентные поперечной силе Q_y:

t_zy×dF . (6.2)

Подобно тому, как в предыдущей главе мы перешли от (6.1) к формуле (5.10), сейчас нам предстоит выразить t_zy из (6.2) через поперечную силу Q_y.

Рассмотрим часть балки шириной , расположенную справа от сечения, и предположим, что касательные напряжения равномерно распределены поперек этого сечения (рис.6.1а).

Тогда из условий равновесия призматического элемента балки размерами следует, что касательные напряжения t_zy , действующие по его передней грани, должны уравновешиваться напряжениями в его верхней плоскости (рис.6.1б). При этом уравнение равновесия

, (6.3)

относительно оси , параллельной , примет вид:

,

откуда следует, что

= . (6.4)

Аналогичные соотношения справедливы не только для балки, но и для любого упругого тела - они выражают закон парности касательных напряжений, в соответствии с которым касательные напряжения на смежных гранях прямоугольного параллелепипеда равны по модулю и направлены навстречу друг другу (см. рис.1.9).

Итак, касательные напряжения появляются не только в поперечных сечениях балки, но и между ее горизонтальными слоями. Чтобы убедиться в этом, проведем мысленно следующий эксперимент. Рассмотрим две балки одинаковой длины: одна - в виде сплошного бруса, а другая - в виде того же бруса, распиленного вдоль на две части. При чистом изгибе разница в балках ничем не проявляет себя, и они деформируются совершенно одинаково (рис.6.2а). В случае поперечного изгиба значительно больше будут прогибы второй балки; ее слои свободно смещаются относительно друг друга в отличие от слоев первой балки, взаимно удерживаемых именно касательными напряжениями (рис.6.2б).

ПРИМЕЧАНИЯ:

1. Мы предполагаем, что касательные напряжения в поперечном сечении балки направлены параллельно поперечной силе Q_y, то есть вдоль оси Oy.

2. Вполне оправданным будет вопрос: почему при выводе формулы (6.4) мы не учитывали нормальные напряжения?

В самом деле, при поперечном изгибе , а const. Пусть в рассматриваемом сечении балки (рис.6.1а) , а . Тогда в силу (5.10) на переднюю грань вырезанного элемента помимо будут действовать , а на противоположную s(z + dz) = s + ds , знаки которых учтены на рис.6.1в. С учетом этих напряжений уравнение (6.3) примет вид:

или, подробнее:

,

откуда

(t_zy - t_yz) = (ds/dz)×(dy/2).

Подставляя сюда

,

получим соотношение:

.

С точностью до бесконечно малых первого порядка правая часть последнего выражения равна нулю, откуда и следует (6.4).

3. Нетрудно уточнить, насколько прогибы второй балки на рис.6.2б будут больше, чем у первой. Из условия равенства изгибающих моментов и уравнения (5.9) следует, что отношение кривизн обратно пропорциональны отношению жесткостей балок:

.

Для балки прямоугольного поперечного сечения:

,

а поскольку прогибы балки v = v (P, l, EJ), то с точностью до множителя v = Pl³ / EJ, откуда следует, что прогибы второй балки будут вчетверо больше прогибов первой.

Формула Журавского

Появление касательных напряжений между горизонтальными слоями балки позволяет легко определить их величину.

Рассмотрим часть балки длиной , расположенную между двумя сечениями, проведенными на расстоянии и от ее левого конца (рис.6.3а). Изгибающим моментам и в этих сечениях балки будут, в силу (5.10), соответствовать нормальные напряжения и s+ds.

Проведем горизонтальное сечение на расстоянии от нейтральной оси и рассмотрим равновесие части балки выше этого сечения. Помимо нормальных и касательных напряжений, приложенных в сечениях и , на нее будут действовать касательные напряжения , распределенные по площади нижней грани и уравнение примет вид:

,

где F_отс - площадь части поперечного сечения балки выше рассматриваемого уровня (рис.6.3б).

Подставляя с учетом (5.10) в последнее выражение , получим

,

или, с учетом (3.2) и (4.2):

, (6.5)

где - статический момент части сечения выше рассматриваемого уровня.

Последнее выражение и носит название формулы Д.И.Журавского.

ПРИМЕЧАНИЯ:

1. При выводе формулы (6.5) поперечное сечение балки фактически предполагается выпуклым и односвязным. То есть, эту формулу нельзя, например, формально применить к балке Т -, О - или П -образного поперечного сечения.

2. В этом курсе не рассматривается изгиб тонкостенных стержней открытого профиля, для которых не выполняется не только предпосылка о равномерном распределении касательных напряжений поперек сечения балки (параграф 6.1), но и гипотеза прямых нормалей (параграф 5.1).