Представление дискретизованного сигнала во временной области

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЦСИ ИЛИ УРАВНЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЯ

Рассмотрим структурную модель средства измерения (СИ), приведенную на рис.6, где Д – датчик с коэффициентом преобразования Кд, АИП – аналоговый измерительный преобразователь с коэффициентом преобразования Каип, АЦП – аналого-цифровой преобразователь с уравнением измерения (при квантовании округлением)

,

(7)

где – числовое значение величины y; E | | - целая часть числа, q_y – ступень квантования, sign y – знаковая функция.
Математическая модель средства измерения представляет собой зависимость между Ny и измеряемой величиной x.

(8)

Уравнение (8) неудобно для анализа из-за наличия нелинейности, обусловленной квантованием (рис.5). Поэтому уравнение (7) представляют в следующем виде

,

(9)

где – погрешность квантования, равная

,

(10)

где F2( ) – дробная часть числа.

Рис. 6. Структурная схема средства измерения.

Рис. 7. График зависимости между и y.

При условии, что погрешность квантования мала

,

(11)

и уравнение (8) при условии (11) представляют в окончательном виде

,

(12)

где ,
Кп – общий коэффициент преобразования,

.

(13)

Уравнение (12) – это уравнение идеального СИ и из этого уравнения находят нормирующее значение:

.

(14)

Рис. 8. Представление уравнения измерения в виде линейной зависимости.

Рис. 9. Структурная модель СИ с источниками погрешностей.

Представление дискретизованного сигнала во временной области

Дискретизация непрерывного во времени сигнала является линейной операцией умножения функции на функцию во времени (рис. 1).

Рис. 1 Иллюстрация получения дискретизованного сигнала

Идеальный дискретизованный сигнал является последовательностью импульсов нулевой длительности (рис. 3а). Поэтому функцию дискретизации представляют как последовательность -функций или функций Дирака:

(1)

где -интервал дискретизации,
-дельта-функция или дельта-импульс (функция Дирака).
По определению -функция удовлетворяет следующим двум условиям:

(2)

и

(3)

т.е. -функция равна нулю при всех отличных от нуля значениях аргумента, принимая в точке бесконечно большое значение. Площадь -функции равна единице.
Фильтрующее свойство -функции выражается соотношением

(4)

т.е. интеграл от произведения произвольной функции , ограниченной в интервале времени на дельта функцию равен значению функции в точке .
Результатом умножения произвольной функции на является дельта-функция, площадь которой равна значению функции в точке (рис.2).

Рис.2 Иллюстрация умножения функции на дельта функцию

Таким образом, идеальный дискретизованный сигнал является последовательностью импульсов нулевой длительности, площадь которых соответственно равна ординатам сигнала в моменты (рис. 3а), и может быть аналитически представлен в виде (5):

(5)

Реальный дискретизованный сигнал, полученный при дискретизации во времени непрерывного сигнала имеет вид импульсно-модулированного сигнала
(рис. 3б), т.е. последовательности импульсов прямоугольной формы, амплитуды которых равны значениям , а период следования равен .

Рис. 3 Дискретизованный сигнал: идеальный(а) и реальный(б)

Реальный дискретизованный сигнал может быть получен, как показано на рис.1, путем умножения непрерывного сигнала на последовательность единичных прямоугольных импульсов длительностью и периодом следования :

(6)

где – симметричный прямоугольный импульс с единичной высотой, определяемый следующим образом:

(7)

Тогда представление реального дискретизованного сигнала во временной области имеет вид:

(8)

или

(9)