Линейное преобразование переменных
Линейным преобразованием переменных называется выражение системы переменных через новую систему переменных
с помощью линейных однородных функций:
Линейное преобразование вполне определяется матрицей размером
, составленной из коэффициентов при
. Эту матрицу называют матрицей линейного преобразования или матрицей линейного оператора.
Пусть и
– два линейных пространства размерности
и
соответственно. Отображение
называется линейным оператором, если:
Линейное преобразование переменных с квадратной матрицей называется невырожденным, если матрица
невырожденная и вырожденным, если матрица
вырожденная.
Теорема. Для всякого невырожденного линейного преобразования переменных с квадратной матрицей существует обратное преобразование, которое является также линейным, и его матрица равна
.
Собственные значения и собственные вектора матриц
Число называется собственным значением (или характеристическим числом) квадратной матрицы
порядка
, если можно подобрать такой
–мерный ненулевой вектор
, что
.
Для того, чтобы найти собственные значения матрицы , рассмотрим матрицу:
Если раскрыть определитель матрицы , то получится многочлен
–й степени:
Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы . Его коэффициенты
зависят от элементов матрицы
. Понятие многочлена будет подробно разобрано в следующем разделе.
Следует отметить, что ,
. Уравнение
называется характеристическим уравнением матрицы
.
Теорема. Множество всех собственных значений матрицы
совпадает с множеством всех решений характеристического уравнения
матрицы
.
Доказательство:
,
– ненулевой набор чисел,
– вырожденная матрица
– решение уравнения:
.
Собственным вектором квадратной матрицы порядка
, принадлежащим ее собственному значению
называется
-мерный вектор
, для которого
.
Множество всех собственных векторов матрицы , принадлежащих ее собственному значению
, обозначим через
. Отыскание собственных векторов сводится к решению однородной системы линейных уравнений.
Теорема. Множество всех собственных векторов матрицы
порядка
, принадлежащих ее собственному значению
, совпадает с множеством всех решений однородной системы линейных уравнений
, где
.
Доказательство:
В развернутом виде равенство записывается как система уравнений:
Если зафиксировано число , то задача нахождения собственного вектора матрицы
сводится к поиску ненулевого решения системы
линейных однородных уравнений с
неизвестными
, которые являются координатами вектора
. Эта система имеет ненулевое решение только тогда, когда выполняется условие:
,
т.е. число является собственным числом матрицы
.
Знание всех собственных векторов матрицы позволяет решить задачу диагонализации этой матрицы, то есть нахождения треугольной или диагональной матрицы, имеющий такие же собственные значения.
Теорема. Предположим, что квадратная матрица
-го порядка имеет
линейно независимых собственных векторов. Тогда если взять эти векторы в качестве столбцов матрицы
, то матрица
будет диагональной матрицей, у которой на диагонали стоят собственные значения матрицы
, т.е.:
Теорема. Если и
– два различных собственных значения симметрической матрицы
, то соответствующие им собственные векторы
и
удовлетворяют соотношению
, т.е. они ортогональны.
Таким образом, собственные значения симметрической матрицы различны, а, значит, если пронормировать соответствующие им собственные векторы, то система собственных векторов матрицы станет ортонормированной, а матрица
, столбцами которой будут эти векторы, станет ортогональной.
Ортогональной называется вещественная квадратная матрица, у которой соответствующая ей система векторов-столбцов является ортонормированной системой евклидова пространства.
Теорема. Матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда
.
В соответствии с этой теоремой , и преобразование
эквивалентно преобразованию
При определении характеристических чисел матрицы было введено новое понятие характеристического многочлена.
http://www.stat-mat.com/?p=83