Тема: Дослідження функцій за допомогою похідної

Лекція

Тема: Основні теореми диференціального обчислення

Ціль: Розглянути основні теореми диференціального обчислення, а також їхнє застосування на практиці.

План: 1. Правило Лопиталя

2. Теорема Ферма.

3. Теорема Роля.

4. Теорема Коші.

5. Теорема Лагранжа.

Правило Лопиталя

Функція , певна у всіх точках проміжку , називається зростаючої (убутної) у цьому проміжку, якщо для будь-яких двох значень аргументу, що належать цьому проміжку, більшому з них відповідає більше (менше) значення функції, т. е,

якщо то при

– зростаюча, – убутна.

З даного визначення випливає, що для зростаючої функції приросту аргументу й функції має той самий знак, у силу чого їхнє відношення позитивно: . Для убутної функції ці прирости мають різні знаки, у силу чого . Ті значення аргументу, при яких функція досягає своїх найбільших і найменших у порівнянні із близькими значень, називаються точками максимуму й мінімуму (точками екстремуму).

Точка називається точкою максимуму (мінімуму) безперервної функції , а значення називається максимумом (мінімумом) цієї функції, якщо існує деяка околиця точки така, що значення функції в будь-якій точці цієї околиці буде менше (більше), чим її значення в самій точці , тобто менше (більше), чим максимум (мінімум) (мал. 1).

у max у

min

f(х₀) f(х₀)

О х₀–d х₀ х₀+d х О х₀–d х₀ х₀+d х

точка максимуму

точка мінімуму

Рис. 1

З визначень точок екстремуму треба, що поза (-околиці точки екстремуму поводження функції довільно, тобто поняття максимуму й мінімуму функції носять характер локальних (місцевих), а не абсолютних понять.

Щоб установити ознаки зростання й убування й ознаки екстремуму функцій, розглянемо ряд важливих теорем математичного аналізу, на які опираються всі подальші дослідження функцій.

Теорема Ферма. Якщо функція безперервна в проміжку , у деякій внутрішній точці х₀ цього проміжку досягає максимуму (або мінімуму) і дифференцьована в цій точці, то її похідна в цій точці дорівнює нулю: .

Припустимо для визначеності, що х₀ – точка максимуму. Тоді для будь-якої точки з інтервалу виконується нерівність . Тому , якщо й , якщо . Переходячи до меж, одержимо

и.

Обоє нерівності будуть виконуватися, якщо .

Геометричний зміст теореми Ферма полягає в тому, що дотична до графіка функції в точці паралельна осі Ох, якщо х₀ – точка максимуму або мінімуму функції на інтервалі (мал. 2).

У точці максимуму (мінімуму) х₀ похідна може не існувати (мал. 3)

у max у min f(х0) f(х0) О a х0 b х О a х0 b х   Рис. 2

у max min О a х0 b х   Рис. 3

Теорема Роля. Нехай функція :

1) безперервна на відрізку ;

2) дифференцьована на інтервалі ;

3) на кінцях відрізка приймає рівні значення .

Тоді існує точка , у якій . Тому що функція безперервна на відрізку , то вона приймає в деяких точках і мінімальне й максимальне значення: . Якщо , то й у будь-якій точці інтервалу похідна . Тому можемо вважати, що . Покладемо , якщо , і , якщо . При такому визначенні з маємо . Оскільки , те , тому . Отже, з – це точка максимуму або мінімуму функції й . По теоремі Ферма .

Геометричний зміст теореми Роля: на графіку функції найдеться принаймні одна точка, у якій дотична до графіка паралельна осі Ох.

В окремому випадку, коли , теоремі Роля можна дати нове тлумачення: між двома нулями дифференцьованой функції завжди укладений принаймні один нуль її похідній.

Теорема Лагранжа. Нехай функція безперервна на відрізку й дифференцируема на інтервалі . Тоді існує така точка , що

. (2)

Формула (4.2) називається формулою кінцевих приростів.

Введемо допоміжну функцію

.

Тоді

1) ;

2) безперервна в тих же точках, у яких безперервна функція , тобто безперервна на й дифференцьована в. По теоремі Роля, існує точка , у якій . Тому що , те в точці з виконується рівність (2).

Теорема Коші. Нехай функції й безперервні на відрізку й дифференцьовані на інтервалі . Нехай, крім того, на . Тоді існує точка , така, що

.

Теорема Лагранжа є часткою случаємо теореми Коші, коли .

Розкриття невизначеностей за правилом Лопиталя. Розкриттям невизначеностей у математичному аналізі називається відшукання межі , коли функція безперервна поблизу точки , але не визначена в самій цій точці, а безпосередня підстановка у формулу цієї функції значення приводить до вираження невизначеного виду:

Основними видами невизначеностей є наступні два: .

Для цих двох видів невизначеностей справедлива теорема Лопиталя: межа відносини двох нескінченно малих або нескінченно більших функцій дорівнює межі відносини їхніх похідних

.

Правило Лопиталя дозволяє в багатьох випадках знайти межу виду або, як говорять, розкрити невизначеність.

Зауваження 1. Інші види невизначеностей можна звести до основних видів.

Зауваження 2. Правило Лопиталя можна застосовувати повторно.

Приклад. Знайти . Це невизначеність виду . Представимо дану межу у вигляді ; це вже буде невизначеність виду , до якої застосовне правило Лопиталя.

Тому .

Завдання для перевірки знань:

1. Дайте формулювання теореми Ферма.

2. Дайте формулювання теореми Ролля.

3. Дайте формулювання теореми Коші.

4. Дайте формулювання теореми Лагранжа.

5. Для чого використовується правило Лопиталя?

Література:

4. «Высшая математика для экономистов» под редакцией Н.Ш. Кремера стр.178-185

5. М.І. Шкіль «Математичний аналіз» стр. 210-220

6. В.М. Лейфура, Г.І. Городницький, Й.І. Фауст «Математика» стр.426-430

Додаткова література:

1. А.Д. Мышкис «Лекции по высшей математике» стр.127-133

2. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» том 1 стр. 159-167

Розділ: «Похідна функції та її застосування»

Лекція

Тема: Дослідження функцій за допомогою похідної

Ціль: Розглянути схему дослідження функцій за допомогою похідної, навчитися практично досліджувати функції будувати графіки

План: 1. Зростання й убування функції

2. Необхідна й достатня умова екстремуму.

3. Опуклість і ввігнутість функції, крапки перегину

4. Асімптоти графіка функція.

5. Загальна схема дослідження функції.

Зростання й убування функції. Екстремум функції.

Асімптоти графіка функції

У попередньому розділі дані визначення понять зростаючої (убутної) функції на проміжку X.

Достатня умова зростання (убування) функції формулюється в такий спосіб: якщо функція діференцьована в проміжку і її похідній у цьому проміжку позитивна (негативна), те сама функція в цьому проміжку зростає (убуває). Доказ даної теореми засновано на застосуванні на відрізку теореми Лагранжа.

Необхідна умова екстремуму функції: у точці екстремуму або похідна функції дорівнює нулю, або функція недіференцьована. Точки з області визначення функції, у яких необхідна умова екстремуму виконана, і в які, отже, тільки й можливий екстремум, називаються критичними (або стаціонарними). Помітимо, що зворотне твердження в загальному невірно. Критична точка не обов'язково є точкою екстремуму. Судити про те, буде дана критична точка точкою екстремуму чи ні, можна на підставі достатніх умов екстремуму. Одне з них затверджує, що, якщо при переході через критичну точку похідна функції міняє свій знак із плюса на мінус, те ця точка - точка локального максимуму, а якщо з мінуса на плюс, то точка локального мінімуму. Існують і інші формулювання достатньої умови екстремуму, що використовують поняття вищих похідних.

Варто розрізняти поняття екстремуму функції і її найбільше й найменше значення на заданому відрізку зміни аргументу. Найбільше або найменше значення функції може досягатися як у точках екстремуму, так і на кінцях відрізка. Для відшукання найбільшого (найменшого) значення функції на відрізку варто знайти її похідну, визначити критичні точки, знайти значення функції в цих точках і на кінцях відрізка й вибрати з них найбільше (найменше).

Опуклість і точки перегину графіка функції. Графік функції називається опуклим (увігнутим) на проміжку , якщо він розташований не вище (нижче) будь-якій дотичній до графіка функції на (мал. 1).

Точка , що розділяє інтервали опуклості й увігнутості, називається точкою перегину графіка функції (мал. 2).

у     О а b х	у     О a b х	у   О x0 х
Рис. 1	Рис. 2

Достатньою ознакою опуклості (увігнутості) графіка функції усередині деякого проміжку є негативне (позитивне) значення другої похідної даної функції на цьому проміжку.

У точці перегину друга похідна двічі діференцьованої функції дорівнює нулю. Це є необхідною умовою перегину. Достатньою ознакою наявності точки перегину є зміна знака другої похідної функції при переході через дану точку.

Асімптоти графіка функції. У загальній задачі дослідження характеру зміни функції важливе значення має дослідження поводження при необмеженому зростанні (по абсолютній величині) аргументу х, а також дослідження випадків необмеженого зростання абсолютної величини в кінцевій частині області визначення. Геометрично ці дослідження приводять до поняття асімптоти графіка.

Асімптотой графіка функції називається пряма лінія, до якої необмежено наближається гілка, що йде в нескінченність, графіка (мал. 3).

Розрізняють три види асімптот: вертикальні, горизонтальні й похилі.

у уас укр   ПРО х   Рис. 3

Нехай пряма є похилої асімптотой графіка функції . Для відшукання кутового коефіцієнта k і початкової ординати b асімптоти використовується умова

,

звідки

, тому що .

Далі визначається .

В окремому випадку асимптот буде горизонтальною. Пряма називається вертикальної асімптотой графіка функції , якщо хоча б одне із граничних значень або дорівнює або .

Загальна схема дослідження поведінки функції й побудови її графіка

Рекомендується дослідження функцій проводити в певній послідовності.

1. Знайти область визначення функції; крапки розриву і їхній характер; вертикальні асімптоти графіка.

2. Визначити можливий тип симетрії функції (парність, непарність функції); крапки перетинання графіка функції з осями координат, тобто вирішити рівняння й .

3. Знайти похилі й горизонтальні асімптоти графіка функції.

4. Використовувати першу похідну для визначення області зростання й убування й екстремумів функції.

5. Використовувати другу похідну для визначення ділянок опуклості й увігнутості графіка й точок перегину.

6. Побудувати графік функції з урахуванням проведеного дослідження.

Завдання для самоперевірки

1. Необхідні та достатні умови зростання і убування функції
2. Необхідна й достатня умова екстремуму.
3. Опуклість і ввігнутість функції, крапки перегину.
4. Асімптоти графіка функція.
5. Побудувати графік функції

Література:

7. «Высшая математика для экономистов» под редакцией Н.Ш. Кремера стр.212-231

8. М.І. Шкіль «Математичний аналіз» стр. 229-260

9. В.М. Лейфура, Г.І. Городницький, Й.І. Фауст «Математика» стр.432-452

Додаткова література:

1. А.Д. Мышкис «Лекции по высшей математике» стр.142-146

2. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» том 1 стр. 221-248