Модель Леонтьева межотраслевого баланса

Постановка задачи. Пусть имеется n отраслей промышленности, каждая из которых производит продукцию, которая идет как для внутреннего потребления данной отраслью и другими отраслями, так и для конечного личного или общественного потребления. Обозначим х_i – общий (валовый) объем продукции i-отрасли, х_ij – объем продукции i-отрасли, потребляемой j-отраслью, y_i – объем конечного продукта i-отрасли. Имеем соотношение баланса:

Введем коэффициенты прямых затрат . Если считать, что эти коэффициенты постоянны в течение некоторого периода времени, то x_ij = a_ij x_j , и соотношение баланса примет вид:

или в матричном виде Х = А٠Х + У.

Задача состоит в нахождении такого вектора Х, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает конечный продукт У.

Решая полученное матричное уравнение, находим Х = (Е–А)^–1 У.

Матрица (Е – А)^–1 называется матрицей полных затрат.

Чтобы матричное уравнение было разрешимо, необходимо, чтобы матрица А была продуктивной. Есть несколько критериев продуктивности матрицы. Например, если максимум сумм элементов столбцов не более 1 и хоть одна сумма строго меньше 1, то матрица продуктивна.

Пример 1.9. Решение задачи поиска межотраслевого баланса[3, c. 99 – 104].

Имеется две отрасли производства, в таблице 1.9 указаны объёмы производства и потребления.

Таблица 1.9

Производство	Потребление	Конечный продукт	Валовый продукт
Энергетика	Машиностроение
Энергетика
Машиностроение

Необходимо вычислить объем валового выпуска продукции каждой отрасли, если конечный продукт 1-й отрасли должен увеличиться в 2 раза, 2-й на 20 %.

Из таблицы 1.9 имеем:

х₁ = 500, х₂ = 400, у₁ = 240, у₂ = 85, х₁₁ = 100, х₂₁ = 275, х₁₂ =160, х₂₂ = 40.

Построим матрицу прямых затрат:

а₁₁ = = = 0,2; а₁₂ = = = 0,4;

а₂₁ = = = 0,55; а₂₂ = = = 0,1.

А = , Е –А = – = .

Проверим матрицу А на продуктивность:

0,2 + 0,55 = 0,75 < 1, 0,4 + 0,1 = 0,5 < 1, т. е. матрица А продуктивна.

Найдем обратную к ней. Вычислим определитель:

0,8٠0,9 –0,55٠ 0,4 = 0,5.

Тогда,

Вычислим по данным условия задачи новый вектор конечного продукта
У = (У₁, У₂):

У₁ = 240٠2 = 480, У₂ = 85 ٠(1+ 0,2) = 102. Имеем У_нов =

Тогда Х = = .

1.15. В таблице 1.10 приведены данные об исполнении баланса за отчетный период в усл. ден. ед.

Таблица 1.10

Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовый продукт
Сфера обслуживания	Лёгкая промышленность
Произ-водство	Сфера обслуживания
Лёгкая пром-ть

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление сферы обслуживания увеличится вдвое, а лёгкой промышленности сохранится на прежнем уровне.

1.16. Продуктивна ли матрица А:

1) 2) .

1.17. Экономика разделена на три отрасли. В таблице 1.11 заданы коэффициенты прямых затрат и конечная продукция отраслей.

Таблица 1.11

Отрасль	Потребление	Конечный продукт
Сфера обслуживания	Лёгкая промышленность	Сельское хозяйство
Произ-водство	Сфера обслуживания	0,3	0,25	0,2
Лёгкая промышленность	0,15	0,12	0,03
Сельское хозяйство	0,1	0,05	0,08

Найти объем валовой продукции каждой отрасли, межотраслевые поставки, чистую продукцию отраслей.

1.18. Дана матрица полных затрат

Найти приращение валового выпуска ∆Х, обеспечивающее приращение конечной продукции ∆У = (10, 30, 20).

1.19. Отрасль состоит из 4-х предприятий; вектор выпуска продукции и матрица внутреннего потребления имеют вид:

Х = А =

Пользуясь моделью Леонтьева, найти вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли.

1.20. Данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый промежуток времени даны в таблице 1.12. Требуется найти объем валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление увеличить соответственно:

1) до 60, 70 и 30 единиц;

2) на 30, 10 и 50 %.

Решить задачу методом обратной матрицы.

Таблица 1.12

№ п/п	Отрасль	Потребление отрасли	Конечный продукт	Валовый выпуск
	Добыча и переработка углеводородов
	Энергетика
	Машиностроение

Контрольные задания

Вариант 1.

1. Решить матричное уравнение:

.

2. Решить систему методом Крамера:

3. При каких значениях параметра к система не имеет решений, имеет бесконечно много:

4. Решить методом Гаусса:

Вариант 2.

1. Продуктивна ли матрица:

2. Решить систему матричным методом:

3. Решить методом Гаусса:

4. Решить задачу.

В первенстве России по футболу Спартак и Динамо вместе набрали на 11 очков больше, чем удвоенное число очков ЦСКА, утроенное число очков Динамо на 2 очка меньше, чем сумма удвоенного числа очков Спартака и ЦСКА. Известно, что число очков, набранных каждой командой, лежит в диапазоне от 15 до 25. Найти количество набранных каждой командой очков.

Вариант 3.

1. При каком значении m матрица не имеет обратной:

2. Решить систему матричным методом:

3. Решить методом Гаусса:

4. При каких значениях параметров а, в, с система имеет решение
x = 2, y = 1, z = 3:

Векторная алгебра

В этом параграфе рассматривается привычное понятие вектора, алгебраическая и геометрическая интерпретация операций над векторами, вводится обобщающее понятие векторного пространства как множества объектов разной природы, для которых заданы алгебраические операции сложения и умножения на число, удовлетворяющее определенным свойствам [3, c. 130].