Дифференциальные уравнения. Дифференциальным уравнение второго порядка называется соотношение вида

Второго порядка

Дифференциальным уравнение второго порядка называется соотношение вида

.

Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные

.

Наиболее простыми из дифференциальных уравнений второго порядка являются уравнения, разрешенные относительно второй производной и имеющие вид

.

Их решение находят двукратным интегрированием:

,

.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Находим

,

.

Дифференциальные уравнения

Второго порядка

С постоянными коэффициентами

Линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

где и – постоянные величины.

Для нахождения общего решения однородного уравнения составляется характеристическое уравнение

.

Структура общего решения однородного уравнения зависит от характера корней:

§ если корни вещественные, различные, т.е. , то общее решение уравнения имеет вид:

§ если корни вещественные, кратные, т.е. , то общее решение уравнения имеет вид:

§ если корни комплексные, т.е. , то общее решение уравнения имеет вид

Пример. Решить уравнение .

Решение. Ему соответствует характеристическое уравнение , корнями которого являются . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид

.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Ему соответствует характеристическое уравнение . Найдем его корни:

.

Корни вещественные кратные, т.е. , Следовательно, общее решение уравнения имеет вид:

.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Ему соответствует характеристическое уравнение . Найдем его корни:

.

Действительная часть , мнимая часть . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид

.

8. Числовые ряды

Рядом называется сумма бесконечного множества слагаемых

являющихся членами бесконечной последовательности.

Числа называются членами ряда.

Сумма первых членов ряда называется -ой частичной суммой.

.

Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм при имеет конечный предел:

Этот предел называется суммой сходящегося ряда.

Если не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Пример. Написать -ый член ряда по данным первым его членам.

1. Ответ: .

2. Ответ: .

3. Ответ: .

Необходимый признак

Сходимости числового ряда

Если ряд сходится, то его общий член при , т.е.

.

! Этот общий признак не является достаточным, т.е. из того, что общий член стремиться к нулю при , нельзя сделать вывод о сходимости ряда. Но если общий член не стремится к нулю, то ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Проверим, выполняется ли необходимое условие сходимости ряда, а именно . В наше случае , тогда

.

Так как необходимое условие не выполняется, то этот ряд расходится.

Ряд, членами которого являются только положительные числа, называется знакоположительным.