Задачи для самостоятельного решения. 1)Вычислить определитель:
1)Вычислить определитель:
a) 
. (Областная, 1996, 15 мая)
b)квадратной матрицы восьмого порядка, у которой на главной диагонали стоят числа 1 4 0 4 1 9 9 9, а вне ее тройки. (Областная, 1999, 14 апреля)
2)Числа 1081, 1403, 2093, 1541 делятся на 23. Докажите, что 
делится на 23. (Международная, 2002)
3)Не развертывая определителей, доказать следующие тождества
А) 
;
Б) 
.
4)Вычислить определитель 
. (Международная, 2002)
5)Пусть 
(по главной диагонали «двойки», над и под главной диагональю – «единицы», остальные – нули). Вычислить 
.
6)Вычислить 
, если 
, 
и 
при 
.
7)Вычислить 
.
(Или 
, 
и 
при 
. Найти 
.)
8)Вычислить 
при 
.
9)Вычислить 
.
10)Для любого 
вычислить определитель 
-го порядка
. (областная, 2011)
11)Решить уравнение 
.
12)Вычислить , если , и при . (Международная, 2002)
13) , и при . Найти .
14)Доказать, что для матриц A и B, таких что 
.
15)Как изменится определитель матрицы, если у всех его элементов изменить знак на противоположный? (П221)
16)Пусть 
– антисимметрическая матрица 2007 порядка. 
17)Пусть . Матрица B получена из матрицы A симметрией относительно побочной диагонали. Выразить 
через 
.
18)При каких 
имеет решение матричное уравнение 
, где 
, 
. Найти все эти решения.
19)Доказать, что если в определителе порядка n на пересечении некоторых k строк и l столбцов, стоят элементы равные нулю, причем 
, то определитель равен нулю. (К 3.8.2)
20)Как изменится определитель порядка n, если его матрицу повернуть на 90° вокруг «центра»? (П231)
21)Чему равен определитель, у которого сумма строк с четными номерами равна сумме строк с нечетными номерами? (П232)
22)Пусть A – квадратная матрица n-го порядка. Элементы 
матрицы B выражаются через элементы 
матрицы A по формуле 
( 
). Матрица C получается из матрицы A заменой ее элементов на элементы, симметричные относительно побочной диагонали. Как связаны определители матриц В и A, С и А? (Областная, 1999)
23)Матрица Х является решением матричного уравнения 
где 
, 
. Доказать, что 
.
24)Пусть 
– квадратная матрица 2011-го порядка, 
. Сколько решений имеет уравнение 
? (Областная, 2011)
25)Найти наибольшее значение определителя третьего порядка, составленного а) из чисел 0 и 1; б) из чисел 1 и –1. (К 3.8.1)
26)Решить уравнение 
, если 
.
27)Среди всех определителей третьего порядка с элементами равными 1 или –1 найти наибольший.
28)Пусть , 
– симметрические матрицы ( 
, 
) 2007 порядка. Доказать, что определитель 
равен нулю.
29)Решить уравнение 
, если 
и X – целочисленна. (Указание: вычислить определитель от обеих частей)
30)Найти все матрицы X второго порядка, удовлетворяющие равенству 
.
31) 
, если 
. Доказать, что нет решений. (Указание: выделить полный квадрат).
32)Найти все квадратные матрицы второго порядка, такие что 
, 
.
33)При каких n совместна система 
, A – антисимметрическая матрица.
34) , 
при 
и 
при 
. Показать, что уравнение 
имеет ненулевое решение.
35)(М2, КЧ) Найти все числа c, умножение на которые невырожденной матрицы A не изменяет ее определителя. (П826)