Гиперболический пара­болоид

4. Конус и цилиндры второго порядка.

Гиперболический пара­болоид - student2.ru Ä 1°. Конус второго порядка


Гиперболический пара­болоид - student2.ru
Убедимся, что вещественный конус S образован прямыми ли­ниями, проходящими через начало О координат. Естественно на­зывать точку О вершиной конуса.

Для доказательства сформулированного утверждения, очевид­но, достаточно установить, что прямая L,соединяющая произвольную, отличную от начала координат точку
М00, у0, z0) ко­нуса (6) и начало координат О , целиком распола­гается на конусе, т. е. координаты (х, у, z)любой точки М прямой Lудовлетворяют уравнению (6).

Гиперболический пара­болоид - student2.ru Так как точка М00, у0,z0) лежит на конусе (6), то :

 
  Гиперболический пара­болоид - student2.ru


Координаты (х, у, z) любой точки М прямой L равны соответ­ственно tx0 , ty0 , tz0 ,где t—некоторое число. Подставляя эти значения для х, у и z в левую часть (6), вынося затем t2 за скоб­ку и учитывая (29), мы убедимся в том, что М лежит на ко­нусе. Таким образом, утверждение доказано. Представление о форме конуса может быть получено методом сечений. Легко убедиться, что сечения конуса плоскостями z = h представляют собой эллипсы с полуосями :

Ä 2°. Эллиптический цилиндр.

 
  Гиперболический пара­болоид - student2.ru


Гиперболический пара­болоид - student2.ru


Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz .


Гиперболический пара­болоид - student2.ru Ä 3°. Гиперболический цилиндр.


Гиперболический пара­болоид - student2.ru

Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz .


Ä 4°. Параболический цилиндр.

a33 z2 + 2q´y = 0 (19)
Путем переименования осей координат и простых арифметических операций из уравнения, (19) мы получим новое, компактное уравнение параболическогоцилиндра.

 
  Гиперболический пара­болоид - student2.ru


Гиперболический пара­болоид - student2.ru

Наши рекомендации