Глава 2. Пределы функций одной переменной

Основные определения, свойства пределов функций одной переменной

Основные определения

Понятие предела функции является одним из основных в математическом анализе. Определения производной, интеграла, непрерывности и т.д. основаны на использовании предела.

Число b называют пределом функции при , если для любого числа найдется такое число , что при всех х, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Предел функции f(x) при x, стремящемся к а, обозначают либо при .

Дадим геометрическую интерпретацию понятия предела функции в точке. На рисунке изображен график функции . Предположим, что функция имеет при пределом число b. Возьмем произвольное сколь угодно малое число . Окружим число b -окрестностью . Найдем на оси Ox такую окрестность точки a: , при попадании в которую значений аргумента x соответствующие значения функции попадут в -окрестность числа b. При уменьшении числа интервал будет стягиваться к числу b. Соответствующий ему интервал будет стягиваться к числу a. Это и доказывает, что .

Число b называют пределом функции при или , если для любого числа можно указать положительное число N , такое, что при всех х, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Свойства предела функции

1. Функция при имеет единственный предел.

2. Предел постоянной равен самой постоянной: .

3. Постоянную можно выносить за знак предела .

4. Предел суммы или разности конечного числа функций равен сумме или разности пределов этих функций .

5. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций .

6. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что .

7. Если , то .

8. Пусть функции связаны соотношением , причем , тогда и .

9. .

Следствие. .

10. .

Замечание. Все свойства пределов распространяются и на случай, когда .

Понятие неопределенностей

В практике отыскания пределов наиболее часто применяются свойства 2 - 6 об арифметических действиях над пределами. Однако их непосредственное применение бывает невозможно в особых случаях, называемых неопределенностями, которые возникают при нарушении их условий. Виды неопределенностей , , , .

Кроме этих неопределенностей, связанных с арифметическими действиями над пределами, существуют неопределенности , , .

Чтобы найти пределы при наличии неопределенности, надо эту неопределенность устранить, открыв тем самым возможность использования того или иного свойства пределов. Это достигается, с одной стороны, применением алгебраических и тригонометрических преобразований (разложение функции на множители или на слагаемые, приведение дробей к общему знаменателю, добавление и вычитание некоторого выражения, умножение и деление на некоторую функцию, вынесение множителя за скобку и т.п.) заменой переменной, использованием эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших, а с другой стороны, использование так называемых замечательных пределов.

Таблица раскрытия различных видов неопределенностей

Тип неопределенности	Правило раскрытия
1.	1.1. Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени.
1.2. Для раскрытия неопределенности вида , заданную отношением иррациональных функций, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени с учетом степеней корней.
2.	2.1. Для того, чтобы определить предел дробно-рациональной функции в случае, когда при числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные нулю, надо числитель и знаменатель дроби разделить на и перейти к пределу. Если и после этого числитель и знаменатель новой дроби имеют пределы, равные нулю при , то надо произвести повторное деление на .
2.2. Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель или знаменатель иррациональны, следует надлежащим образом избавиться от иррациональности, умножив и числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. Неопределенность устраняется после сокращения дроби. В случае квадратных корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на сопряженное выражение тому, которое содержит иррациональность и применяется формула . В случае кубических корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула .
3.	3.1. Неопределенность вида , получающаяся в результате алгебраической суммы иррациональных выражений, устраняется или приводится к типу 1 путем домножения и деления на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. В случае квадратных корней разность домножается на сопряженное выражение и применяется формула . В случае кубических корней функция домножается на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула .
3.2. Неопределенность вида , получающаяся в результате алгебраической суммы двух дробей, устраняется или сводится к типу 2 путем приведения дробей к общему знаменателю. Пусть , . Тогда
4. Замечатель-ные пределы	4.1. Первый замечательный предел (неопределенность ). В случае, когда под знаком предела стоят тригонометрические функции, дающие неопределенность , используется первый замечательный предел: . Его различные формы: , , , , , , .
4.2. Второй замечательный предел (неопределенность ): . Его различные формы: , , , , .
5.	5.1. Неопределенность типа сводится либо к неопределенности типа 1 , либо к неопределенности типа 2 путем перемещения в знаменатель одного из сомножителей. Пусть , . Тогда
6. ,	6.1. Неопределенности вида , сводятся к неопределенности типа 5 путем логарифмирования.

Замечание.

Применение замечательных пределов требует понимания и запоминания структуры каждого из них и при необходимости ее воспроизведения. Так, для предела характерно отношение синуса бесконечно малого угла к самому углу. Поэтому всякий предел вида равен 1, если . Например, каждый из пределов , , есть, в сущности, первый замечательный предел и потому равен 1, чего нельзя сказать ни об одном из пределов , , .

Для предела (е - иррациональное число е=2,7182818…) характерно, что сумма, равная единице плюс бесконечно малая, возводится в степень, обратную этой бесконечно малой. Следовательно, если , то и . Такова структура каждого из пределов , , , и поэтому все они равны e, но структура пределов , , отлична от структуры второго замечательного предела.

Подобные рассуждения справедливы и для других форм замечательных пределов.

§3. Раскрытие неопределенностей вида

Пример 1.

Вычислить предел функции .

Решение.Знаменатель дробиобращается в нуль при , а потому функция при не существует. Теорему о пределе дроби применить нельзя, так как предел знаменателя равен нулю. Но определение предела функции содержит существенную оговорку: при отыскании предела функции при значение функции при может не рассматриваться.

Т.к. при числитель и знаменатель дроби – бесконечно малые функции и , то имеем неопределенность вида .

Для решения задачи используем правило 2.1 (см. таблицу). Разделим числитель и знаменатель на . Мы имеем право это сделать, потому что значение не рассматривается, и, значит .

.

Ответ: .

Пример 2.

Вычислить предел функции .

Решение.Имеем неопределенность . По правилу 2.1 разделим числитель и знаменатель на .

0 0

Тогда

.

Еще раз разделим числитель и знаменатель на :

.

Ответ:

Пример 3.

Вычислить предел функции .

Решение. Имеем неопределенность . По правилу 2.2 умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю и применим формулу :

Ответ: .

Пример 4.

Вычислить предел функции .

Решение.

Т.к. здесь неопределенность и знаменатель содержит иррациональность, то, используя правило 2.2, умножим числитель и знаменатель дроби на неполный квадрат (т.к. корень кубический) и применим формулу . Имеем

Ответ: .

Пример 5.

Вычислить предел .

Решение.

Т.к функция у= непрерывна при всех x,то, переходя к пределу под знаком непрерывной функции, получаем

.

Т.к x – бесконечно малая функция в точке x=0,

а функция -ограниченная в окрестности точки x = 0,

то -бесконечно малая функция в точке x = 0 (произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию – есть бесконечно малая функция), т.е. .

Т.к. функция непрерывна в точке x = 0,

то .

Используя основные теоремы о пределе функции в точке, получим

.

Ответ: .