Анализ зависимости частот колебаний ЛА от массы топлива ракеты
Лабораторная работа 1, 2, 3
по дисциплине «Динамика и прочность ракетных двигателей»
Тема: «Анализ зависимости частот колебаний ЛА от массы топлива ракеты, от геометрических характеристик ракетного двигателя»
| Выполнил студент гр. ЛА-08 | Наугольных Д. А. |
| Проверил профессор | Сальников А.Ф. |
Пермь, 2012
Цель работы:
1. Провести анализ частотных характеристик, изменяя массу топлива на 20 %.
2. Провести анализ частотных характеристик, изменяя массу корпуса на 20 %.
3. Провести анализ частотных характеристик, изменяя массу корпуса и топлива на 20 %, тем самым изменяя длину ЛА.
Теоретические сведения
Колебания — повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы около точки равновесия.
Два основных подхода в изучении колебаний элементов и узлов машин:
Первый:
Связан с формированием вектора колебательного движения с использованием Максвеловского подхода:
(1)
- матрицы ускорения, скоростей и перемещения элементов системы.
[m]- массовые характеристики.
[L]- матрица конструктивной вязкости.
[C]- матрица жесткости.
[F]- столбец внешних сил.
-матрица силовых связей элементов систем.
Уравнение в общем виде (1), формирует общую базу математического описания колебательной системы в общем виде из которого можно получить записи собственных, вынужденных, парциальных колебаний.
Любое колебательное движение системы содержит в себе собственные колебания и вынужденные колебания, которые будут определяться правой частью уравнения (1). Основными параметрами любого колебательного процесса является период, амплитуда, длина волны.
Виды колебаний:
1. Собственные- это когда в уравнении (1), элементы 2,4,5 равны 0, следовательно: 
.
2. Затухающие- когда в уравнении (1), элементы 4,5 равны 0.
3. Вынужденные- это такие колебания системы, когда в уравнении (1), элемент 5, равен 0, следовательно:
Количество вынужденных колебаний, равно количеству вынужденных сил:
.
i= (1÷n).
Второй:
Метод распределенной массы. Каждый элемент имеет пространственную систему распределения массы: m(x), m(y),m(z)
Каждая из сечений s связаны между собой внутренними силами, которые зависят от момента инерции и модуля материала.
В связи с этим сформирован основной подход.
Данный метод позволяет просматривать продольные, крутильные и изгибные колебания.
1. Продольные колебаниясмещения относительно положения равновесия.
2. Изгибные колебания– относительное смещение сечения с его поворотом сечения относительно его равновесия.
3. Кручение – поворот относительной оси.
Таким образом, структура колебательного движения жестко предполагает формирования таких, которые могут существовать в изделии в той или иной форме. Полагая при этом, что колебания не зависимы друг от друга.
Продольные колебания
А=a sin 𝜔t
Рассмотрим параллельное смещение:
S1-продольная волна. Эффект сжатия называют продольной волной ,которая распространяется со скоростью звука либо выше.
· Если ниже скорости звуко-механические колебания;
· Если выше скорости звуко-ударная волна;
-m(x)* 
=f(xt)
f(xt)-внешняя нагрузка которая приводит к смещению сечения при определенном воздействии. Если предполагать, что f(xt) –это кратковременное воздействие , то
-m(x)* =0 (2)
-уравнение собственных колебаний элемента;
Чтобы найти характер смещения необходимо ввести следующие понятия: φ(х)-функция смещения (закон изменения смещения относительно равновесия), Ψ(х)функционал смещения, определяет в первом приближении амплитуду смещения; функционал зависит от массы и положения. Следовательно , u –смещение точки в сечении.
u (xt)= φ sin ( 
) (3),
где н-индекс смещения; φ- форма; 
-изменение формы.
Выражение (3) подставляем в (2) и получаем:
=- 
) , (4)-функция смещения
Для того чтобы решить уравнение нужно взять интеграл на границах. На границах производная при х=0 и х=L .Получаем,
= 0
Смещение есть, а скорости нет в данном месте. Нужно взять интеграл от (4) полагая, что х- постоянная величина. Аналитическое решение (4) может быть решено приближенно. Есть 2 случая когда уравнение решено:
1) Ψ(х)-когда задано;
2) M(x) есть величина постоянная u=x
Возьмем интеграл из выше указанных условий, тогда
=- 
(5)
В это случае (5) можно решить только тогда, когда будет известна функция смещения 
.
После второго интегрирования необходимо, что функция совпадала с первой. Для этого введем нормирующий функционал.
=-𝜔 
+ 
(6),
где -постоянная интегрирования ;
= 
= 
dx , тогда =
После постоянного интегрирования получаем:
= 
Выбранная функция будет зависеть от частоты : 𝜔 = 
Для возникновения продольных колебаний необходимо осевые силы, которые сжимают(растягивают) конструкцию.
Изгибные колебания.
𝜔 – характеристика прогиба, конструктивного элемента, под действием периодической силы перпендикулярной продолжению оси объекта.
В допущениях величина осевого смещения при колебаниях будем считать равным нулю.
Изгибные колебания будем рассматривать как поворот при ортогональном смещении. Изгиб оси симметрии связан с моментом.
(1)
где 
текучий радиус изгиба
Е – модуль упругости
I – момент инерции
Для того чтобы учесть изменения момента инерции относительно оси изгиба предполагается его интегральное значение.
Радиус прогиба элемента будет определяться как:
Так как в силу малости смещения знаменатель стремится к 1 и получаем формулу.
Уравнение (3) связывает изгибающий момент с функцией прогиба.
Получаем
( 
)= 
(4)
- инерционная массовая нагрузка,связанная с инерцией смещения поперечной массы.
и 
(5)
( )+m * 
= (6)
(5)- уравнение движения при изгибе объекта относительно его продольной оси.
(6) – описывает изменение во t смещения по оси n по времени.
Будем полагать что:
( )+m * =0 (7)
(7) – собственные колебания тел.
Подразделение переменной позволит нам получить новую формулу выражения (7).
W(x,t)= 
(x) (8) - функция прогиба
Тогда первая производная функции смещения в точке x=0 и x=L от сюда следует, что W=0
Данное утверждение позволяет (7) с учетом (8) переписать в новом виде:
( 
)- 
m 
)=0 (9)
W(x,t)= 
)*cos ( 
) (10)
ή – фазовый угол смещения функции преобразования прогиба оси объекта при изгибных колебаниях.
Исходя из физики взаимодействия частот по модам будем раздельно рассматривать условие возникновения колебательных движений при изгибе объекта .
f (n)= 
dx=1
Использование нормирования форм колебаний четко позволяет в отличии от продольных колебаний получить моду(тон).
Крутильные колебания
В случае крутильных колебаний собственные частоты не образуют гармонического ряда, т.к. скорость распространения крутильных волн зависит от частоты.
Исходные данные
| Количество ступеней: | |
| Диметр Миделя, м: | 1,6 |
| Количество форм колебаний: | |
| Шаг по длине ЛА, м: | 0,001 |
| Точность расчета, Гц: | |
| Материал корпуса: | Боропластик |
Характеристики топлива №2
 | - плотность топлива |
 | - температура в КС |
 | - газовая постоянная ПС |
 | - показатель в законе горения |
 | - коэффициент в законе горения |
 | - единичный импульс топлива |
Анализ зависимости частот колебаний ЛА от массы топлива ракеты
1) Увеличим массу топлива на 20%.
Рис.1.1.1 Изгибные колебания
Рис.1.1.2 Продольные колебания
Рис.1.1.3 Крутильные колебания
2) Уменьшим массу топлива на 20%.
Рис.1.2.1 Изгибные колебания
Рис.1.2.2 Продольные колебания
Рис.1.2.3 Крутильные колебания