Определение коэффициентов ошибок

Структурная схема САР приведена на рисунке 3.1, где

. (3.1)

Рисунок 3.1 – Структурная схема САР

Требуется определить:

– коэффициенты статической ошибки C₀, скоростной ошибки C₁ и ошибки от ускорения C₂.

Для нахождения указанных коэффициентов необходимо найти передаточную функцию ошибки по выражению (2.3), то есть

.

Итак

,

на основе выражений (2.4) имеем, что

Для нахождения C₁ необходимо найти первую производную от W_e(p) по правилу:

, (3.2)

где B(p) – полином в числителе передаточной функции;

A(p) – полином в знаменателе.

Тогда

Итак

. (3.3)

Тогда

.

Вторая производная от передаточной функции ошибки

Отсюда

.

Итак

C₀ = 0,09; C₁ = 0,25; C₂ = 0,69.

Тогда

.

3.2 Построение кривой переходного процесса методом
типовых ТВЧХ

Пусть передаточная функция САР имеет вид

, (3.4)

где k = 2 – коэффициент передачи;

T₁ = 1; T₂ = 2; T₃ = 4 – постоянные времени.

Требуется:

– построить кривую переходного процесса методом типовых ТВЧХ;

– определить прямые оценки качества регулирования.

Раскроем скобки в выражении (3.4) и подставим значения k, T₁, T₂, T₃:

. (3.5)

Получим выражение для расчета вещественной частотной характеристики P(w), заменив в (3.5) p на jw

Отсюда

.

Результаты расчета P(w) приведены в таблице 3.1, а ее график на рисунке 3.2.

Таблица 3.1 – Значения P(w)

w		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9		1,5		+¥
P(w)		1,01	0,97	0,49	0,23	0,1	0,03		-0,01	-0,02	-0,02	-0,02	-0,01

Аппроксимируем кривую P(w) прямолинейными отрезками. В итоге получаем три типовые ТВЧХ, характеристики которых приведены в таблице 3.2, а сами ТВЧХ приведены на рисунке 3.3.

Таблица 3.2 – Характеристики ТВЧХ

Трапеция	ri	wdi	wпi	Hi
I	1,5	0,15	0,3	0,5
II	0,4	0,3	0,5	0,6
III	0,12	0,5	0,8	0,625

В таблицах 3.3, 3.4, 3.5 соответственно приведены значения для переходных процессов единичных ТВЧХ, взятых при заданных значениях наклонов H_i из таблицы приложения А, а также значения реальных кривых переходных процессов, полученных для каждой ТВЧХ по выражениям (2.14).

Рисунок 3.2 – Вещественная частотная характеристика

Рисунок 3.3 – ТВЧХ

Таблица 3.3 – Значения переходного процесса для ТВЧХ I

tтабл	h11(t)	t	h1(t)
0,0	0,00	0,0	0,00
0,5	0,240	1,7	0,36
1,0	0,461	3,3	0,69
1,5	0,665	5,0	1,00
2,0	0,831	6,7	1,25
2,5	0,967	8,3	1,45
3,0	1,061	10,0	1,59
3,5	1,115	11,7	1,67
4,0	1,141	13,3	1,71
4,5	1,138	15,0	1,71
5,0	1,117	16,7	1,68
5,5	1,090	18,3	1,64
6,0	1,051	20,0	1,58
6,5	1,018	21,7	1,53
7,0	0,992	23,3	1,49
7,5	0,974	25,0	1,46
8,0	0,966	26,7	1,45
8,5	0,964	28,3	1,45
9,0	0,968	30,0	1,45
9,5	0,975	31,7	1,46
10,0	0,982	33,3	1,47
10,5	0,988	35,0	1,48

Продолжение таблицы 3.3

tтабл	h11(t)	t	h1(t)
11,0	0,993	36,7	1,49
11,5	0,996	38,3	1,49
12,0	0,997	40,0	1,50

Таблица 3.4 – Значения переходного процесса для ТВЧХ II

tтабл	h12(t)	t	h2(t)
0,0	0,000		0,00
0,5	0,255		0,10
1,0	0,490		0,20
1,5	0,706		0,28
2,0	0,878		0,35
2,5	1,010		0,40
3,0	1,100		0,44
3,5	1,145		0,46
4,0	1,158		0,46
4,5	1,141		0,46
5,0	1,107		0,44
5,5	1,064		0,43
6,0	1,020		0,41
6,5	0,982		0,39
7,0	0,957		0,38
7,5	0,944		0,38
8,0	0,941		0,38
8,5	0,948		0,38
9,0	0,961		0,38
9,5	0,977		0,39
10,0	0,993		0,40
10,5	1,005		0,40
11,0	1,014		0,41
11,5	1,017		0,41
12,0	1,018		0,41
12,5	1,015		0,41
13,0	1,012		0,40
13,5	1,008		0,40

Таблица 3.5 – Значения переходного процесса ТВЧХ III

tтабл	h13(t)	t	h3(t)
0,5	0,259	0,625	0,03
1,0	0,505	1,250	0,06
1,5	0,722	1,875	0,09
2,0	0,899	2,500	0,11
2,5	1,030	3,125	0,12
3,0	1,116	3,750	0,13
3,5	1,158	4,375	0,14
4,0	1,162	5,000	0,14
4,5	1,138	5,625	0,14
5,0	1,097	6,250	0,13
5,5	1,050	6,875	0,13
6,0	1,001	7,500	0,12
6,5	0,965	8,125	0,12
7,0	0,941	8,750	0,11
7,5	0,931	9,375	0,11
8,0	0,934	10,000	0,11
8,5	0,948	10,625	0,11
9,0	0,967	11,250	0,12
9,5	0,987	11,875	0,12
10,0	1,006	12,500	0,12

По данным, приведенным в таблицах 3.3, 3.4, 3.5 строим переходные процессы h₁(t), h₂(t), h₃(t), которые приведены на рисунке 3.4.

Строим реальную кривую переходного процесса y(t) путем графического суммирования переходных процессов h₁(t), h₂(t), h₃(t) (рисунок 3.4).

Определяем прямые оценки качества регулирования:

– время регулирования t_р = 18,75 сек.;

– время нарастания переходного процесса t_н = 8,5 сек.;

– время достижения первого максимума t_max = 12,5 сек;

– перерегулирование

,

где .

Рисунок 3.4 – Кривая переходного процесса и оценки
качества регулирования

Так как переходной процесс не является колебательным, то число колебаний N = 0.

Полученная область допустимых отклонений выделена на рисунке 3.4 штриховкой.