Основные свойства операций над множествами

Федеральное агентство по образованию

Тверской колледж имени А.Н. Коняева

«Множества»

Учебно-методическое пособие по предмету «Математика»

для студентов первого курса

Тверь,

Одобрено предметной (цикловой) Заместитель директора

комиссией по учебной работе

Председатель Дац В.А. Виноградов Н.Е.

____________________ _____________________

Составил: Бодров Е.Н.

__________________

Учебное пособие содержит теоретический и практический материал по теме «Множества». Пособие предназначено для студентов, изучающих дисциплины «Математика», «Дискретная математика», а также может быть полезно преподавателям математики.

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ. 4

1. Основные понятия теории множеств. 5

2. Изображение множеств. 6

3. Операции над множествами. 7

4. Основные свойства операций над множествами. 9

5. Примеры решения задач. 10

6. Задачи для самостоятельного решения. 12

Приложение А.. 15

Список литературы.. 22

ВВЕДЕНИЕ

Теоретико-множественные понятия встречаются практически во всех разделах современной математики и составляют ее фундамент. Теоретико-множественный подход способствует развитию общей культуры студентов, помогает видеть связи между явлениями. Таким образом, теоретико-множественный подход при изучении курса математики создает благоприятные условия для целенаправленного изучения языка математики, способствует повышению научности и четкости в изложении материала, содействует выявлению связей между различными разделами математики, помогает развитию математической культуры студентов.

Основным средством формирования теоретико-множественных понятий и их применения при изучении программного материала является специальный подбор системы упражнений и задач. Предлагаемое пособие по теме «Множества» содержит как теоретический, так и практический материал. Рассматриваемая система упражнений рассчитана на овладение студентами общими методами рассуждений, активизацию их мыслительной деятельности, выработку творческого подхода к решению задач, установление связи теоретико-множественных понятий с окружающей действительностью.

Основные понятия теории множеств

Понятия множество, элементы множества – одни из основных неопределяемых понятий современной математики.

Под множеством (семейством, набором, ансамблем) понимается совокупность объектов, объединенных некоторым признаком, свойством. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами.

Пример 1.1. - множество натуральных чисел, - множество целых чисел,

- множество рациональных чисел, - множество действительных чисел.

Запись означает, что элемент принадлежит множеству .

Запись означает, что элемент не принадлежит множеству .

Для обозначения множеств будем применять прописные буквы латинского алфавита, а элементов – строчные буквы латинского алфавита.

Способы задания множества:

1. Перечислением, то есть

2. Указанием свойства, которым обладают элементы, принадлежащие этому множеству. Данное свойство называется характеристическим. Множество записывается следующим образом:

, - характеристическое свойство.

Пример 1.2. - множество цифр, .

Определение 1.1. Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента. Обозначение - Ø.

Определение 1.2. Множество называется подмножеством множества , если всякий элемент множества является элементом множества . Обозначение - .

Определение 1.3. Универсальным называют множество , состоящее из всех возможных элементов, обладающих данным признаком.

Определение 1.4. Множества и называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Определение 1.5. Мощность множества - это число элементов множества . Обозначение - .

Изображение множеств

Множества принято изображать с помощью кругов Эйлера-Венна. Элементы множества изображаются точками внутри круга, если они принадлежат множеству, и точками вне круга, если они не принадлежат множеству. Тот факт, что является подмножеством , с помощью кругов Эйлера-Венна изображается следующим образом (рисунок 2.1).

Рисунок 2.1. Иллюстрация кругами Эйлера-Венна

Операции над множествами

1. Под объединением двух множеств и (обозначение ) понимается множество тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств и (рисунок 3.1).

Рисунок 3.1. Объединение множеств

Пример 3.1.Даны множества и . Тогда объединение этих множеств: .

2. Под пересечением двух множеств и (обозначение ) понимается множество тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно множествам и (рисунок 3.2.).

Рисунок 3.2. Пересечение множеств

Пример 3.2.Даны множества и . Тогда пересечение этих множеств:

3. Разностью множеств и (обозначение ) называется множество тех и только тех элементов , которые не принадлежат множеству (рисунок 3.3.).

Рисунок 3.3. Разность множеств

Пример 3.3.Даны множества и . Тогда разность этих множеств: .

4. Симметрической разностью множеств и (обозначения или ) называется множество тех и только тех элементов, которые принадлежат одному из множеств, но не являются общими элементами (рисунок 3.4.).

Рисунок 3.4. Симметрическая разность множеств

Пример 3.4.Даны множества и . Тогда симметрическая разность этих множеств: .

5. Дополнением к множеству (обозначение ) называется множество тех и только тех элементов, которые не принадлежат множеству , то есть дополняют его до универсального множества (рисунок 3.5.).

Рисунок 3.5. Дополнение к множеству

Основные свойства операций над множествами

1. Коммутативные законы (переместительные)

,

2. Ассоциативные законы (сочетательные)

,

3. Дистрибутивные законы (распределительные)

,

4. Законы поглощения

,

5. Законы идемпотентности

,

6. Свойства разности

,

,

7. Свойства дополнения ,

,

Примеры решения задач

1. Определить мощность множества .

Решение. Элементами данного множества являются корни квадратного уравнения , дискриминант уравнения больше нуля, следовательно, уравнение имеет два корня. Тогда .

2. Доказать, что для любых множеств выполняется свойство .

Доказательство. Если , то и , но тогда и . Следовательно, и . Поэтому .

Если , то и . Следовательно, , и . Но тогда и .

Таким образом, мы доказали, что эти множества совпадают.

3. Доказать, что для любых множеств выполняется закон .

Доказательство. Пусть элемент . Следовательно, элемент входит в и, кроме того, по крайней мере, в одной из множеств или . Но тогда принадлежит хотя бы одному из множеств или , то есть .

Обратно, если , то или , следовательно, и, кроме того, или , то есть . Таким образом, .

Так как любой элемент левой части входит в правую и наоборот, то эти множества совпадают.

4. Пятьдесят лучших студентов колледжа наградили за успехи поездкой в Англию и Германию. Из них 5 не владели ни одним разговорным иностранным языком, 34 знали английский язык и 27 – немецкий. Сколько студентов владели двумя разговорными иностранными языками?

Решение. Введём обозначения множеств:

- множество студентов, не владеющих ни одним иностранным языком, ;

- множество всех студентов, ;

- множество студентов, владеющих английским языком, ;

- множество студентов, владеющих немецким языком, ;

- множество студентов, владеющих английским и немецким языками, . Найдем из уравнения или 34+27- =50-5, отсюда .