Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений

Предпраздничные новогодние дни предвещают зачеты и экзамены, поэтому в срочном порядке я решил порадовать читателей еще одним уроком по теме Дифференциальные уравнения первого порядка. Речь пойдет о так называемых уравнениях Бернулли, которые нет-нет, да и встречаются в практических работах и контрольных заданиях. Уравнение Бернулли рекомендую изучать только в том случае, если у вас уже есть опыт решениядифференциальных уравнений первого порядка, в особенности, следует хорошо ориентироваться в линейных неоднородных уравнениях вида Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений - student2.ru .

Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид:

Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений - student2.ru

Очевидно – уравнение Бернулли по общей структуре напоминает линейное неоднородное уравнение первого порядка.

Характерным признаком, по которому можно определить уравнения Бернулли, является наличие функции «игрек» в степени «эн»: Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений - student2.ru .

Если Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений - student2.ru или Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений - student2.ru , то уравнение Бернулли превращается в уравнения, которые вы уже должны уметь решать.

Целая степень Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений - student2.ru может быть как положительной, так и отрицательной (во втором случае получится дробь), кроме того, Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений - student2.ru может быть обыкновенной дробью, например Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений - student2.ru .

Как и линейное неоднородное уравнение первого порядка, уравнение Бернулли может приходить на новогодний утренник в разных костюмах, волком:
Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений - student2.ru
Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений - student2.ru

Зайчиком:
Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений - student2.ru

Или белочкой:
Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений - student2.ru

Важно, чтобы в уравнении присутствовал товарищ Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений - student2.ru, который, как я только что показал, иногда может маскироваться под корень.

Обратите внимание, что одним из очевидных решений уравнения Бернулли (если Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений - student2.ru ) является решение: Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений - student2.ru . Действительно, если найти Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений - student2.ru и подставить Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений - student2.ru в уравнения рассмотренных типов, то получится верное равенство. Иногда принципиальные преподаватели могут потребовать дополнительно указать данное решение в ответе.

Все популярные разновидности уравнения Бернулли я принёс в большом мешке с подарками и приступаю к раздаче. Развешивайте носки под ёлкой.

Пример 1

Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию.
Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений - student2.ru , Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений - student2.ru

Наверное, многие удивились, что первый подарок сразу же извлечён из мешка вместе сзадачей Коши. Это не случайность. Когда для решения предложено уравнение Бернулли, почему-то очень часто требуется найти частное решение. По своей коллекции я провёл случайную выборку из 10 уравнений Бернулли, и общее решение (без частного решения) нужно найти всего в 2-х уравнениях. Но, собственно, это мелочь, поскольку общее решение придётся искать в любом случае.

Решение: Данный диффур имеет вид Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений - student2.ru , а значит, является уравнением Бернулли

Наши рекомендации