Относительное движение материальной точки

В предыдущем параграфе показано было как определяется движение точки относительно неподвижной системы отсчета, абсолютное движение. Нередко приходится исследовать движение материальной точки относительно системы, которая сама движется и довольно сложным образом.

Точка М (рис.26) под действием некоторых сил Относительное движение материальной точки - student2.ru совершает сложное движение. Абсолютное определяется координа­тами x, y, z, относительное – координа­тами x1, y1, z1.

Относительное движение материальной точки - student2.ru

Рис.26

Составим основное уравнение динамики для точки Относительное движение материальной точки - student2.ru , где абсолютное ускорение Относительное движение материальной точки - student2.ru . Поэтому уравнение будет таким Относительное движение материальной точки - student2.ru или Относительное движение материальной точки - student2.ru .

Рис. 13.6.
Но Относительное движение материальной точки - student2.ru - переносная сила инерции, Относительное движение материальной точки - student2.ru - кориолисова сила инерции. Поэтому основное уравнение динамики для относительного движения запишем так

Относительное движение материальной точки - student2.ru

Спроектировав это векторное равенство на подвижные оси x1, y1, z1, имея в виду, что проекции вектора ускорения на оси – есть вторые производные от соответствующих координат по времени, получим дифференциальные уравнения относительного движения

Относительное движение материальной точки - student2.ru

Сравнивая эти уравнения с дифференциальными уравнениями абсолютного движения, замечаем, что относительное движение материальной точки определяется такими же методами, что и абсолютное, надо лишь кроме обычных сил учесть переносную силу инерции и кориолисову силу инерции.

Если переносное движение поступательное, равномерное и прямолинейное, т.е. подвижная система инерциальная, то ускорение Относительное движение материальной точки - student2.ru и Относительное движение материальной точки - student2.ru . Значит Относительное движение материальной точки - student2.ru и дифференциальное уравнение (8) будет точно совпадать с дифференциальным уравнением абсолютного движения. Следовательно, движение точки во всех инерциальных системах описывается аналогичными законами (отличаются только постоянными интегрирования, зависящими от начальных условий).

Поэтому невозможно установить, наблюдая за движением точки, движется система поступательно, равномерно и прямолинейно или находится в покое. Этот вывод впервые был сделан Г.Галилеем и называется его именем – принцип относительности Галилея.

Физические величины и физические законы, не изменяющиеся при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, называют инвариантными (не изменяющимися) к преобразованиям Галилея.

Пример 26. Вагон движется с постоянным ускорением Относительное движение материальной точки - student2.ru . Определим траекторию движения предмета М, упавшего с полки высотой h, которую увидит наблюдатель, пассажир, сидящий в вагоне (рис.27).

Рис. 13.7.
Относительное движение материальной точки - student2.ru

Рис.27

Порядок решения задачи тот же, что и при определении абсолютного движения. Только оси надо провести по вагону и учесть кроме веса предмета Относительное движение материальной точки - student2.ru переносную силу инерции Относительное движение материальной точки - student2.ru (кориолисова сила инерции Относительное движение материальной точки - student2.ru – переносное движение поступательное).

Дифференциальные уравнения относительного движения получаются такими

Относительное движение материальной точки - student2.ru

Решение этих уравнений

Относительное движение материальной точки - student2.ru

Относительное движение материальной точки - student2.ru .

Используя начальные условия (при t = 0: x1 = 0, y1 = h, Относительное движение материальной точки - student2.ru т.к. Относительное движение материальной точки - student2.ru ), найдем постоянные интегрирования: C1=C2=D1=0, D2=h. Поэтому уравнения движения: Относительное движение материальной точки - student2.ru Траекторию движения получим, исключив параметр t: Относительное движение материальной точки - student2.ru Это уравнение прямой (рис. 27). Предмет М упадет на пол вагона на расстоянии Относительное движение материальной точки - student2.ru от края полки (при Относительное движение материальной точки - student2.ru ).

Если вагон будет двигаться равномерно (W = 0), то s = 0. Наблюдатель увидит траекторию – вертикальную прямую, такую же, как и при неподвижном вагоне.

Пример 27. Внутри трубки, вращающейся с постоянной угловой скоростью Относительное движение материальной точки - student2.ru вокруг вертикальной оси, находится шарик М, привязанный нитью длиной а к оси вращения (рис. 28). Определим движение шарика в трубке после того, как нить оборвется. Сопротивление воздуха учитывать не будем.

Рис. 13.8.
Относительное движение материальной точки - student2.ru

Рис.28

Траектория движения шарика в трубке – прямая. Поэтому для определения этого движения достаточно одной координаты х1. Начало координат, точка О, - на оси вращения. В промежуточном положении на шарик действуют силы: вес Относительное движение материальной точки - student2.ru , две составляющие реакции трубки Относительное движение материальной точки - student2.ru . Добавляем переносную силу инерции Относительное движение материальной точки - student2.ru кориолисову силу инерции Относительное движение материальной точки - student2.ru и составляем дифференциальное уравнение движения: Относительное движение материальной точки - student2.ru . Или, после подстановки значения силы инерции и преобразований: Относительное движение материальной точки - student2.ru .

Решение такого дифференциального уравнения, как известно, имеет вид: Относительное движение материальной точки - student2.ru и Относительное движение материальной точки - student2.ru .

Так как при t = 0 x1 = 0, Относительное движение материальной точки - student2.ru , то С1 2 = а, С1 – С2 = 0.

Значит C1=C2=a/2 и уравнение движения станет таким Относительное движение материальной точки - student2.ru

Относительная скорость Относительное движение материальной точки - student2.ru . А т.к. Относительное движение материальной точки - student2.ru , то

Относительное движение материальной точки - student2.ru

Можно теперь определить относительную скорость шарика в любом положении. Так шарик вылетит из трубки длиной l со скоростью Относительное движение материальной точки - student2.ru

Наши рекомендации