Различные формы записи комплексных чисел
1) Алгебраическая форма z = x + iy
2) Тригонометрическая форма
Действительное число r = называется модулем комплексного числа
z = x + iy. Геометрически модуль числа z - длина радиуса вектора точки z;
Угол называется аргументом комплексного числа zи обозначается
:
, где φ = argz -главное значение аргумента комплексного числа;
3) Показательная форма комплексного числа
- уравнение окружности радиуса R с центром в точке z0.
Задания
1). Найдите действительную часть комплексного числа z = 4+2i; z = 6;
z = -7i; ;
Изобразите области
2). Где расположены точки , для которых ;
;
;
;
?
3). ; 4).
; 5).
; 6).
;
Представить в тригонометрической и показательной формах число
7). ; 8).
; 9).
; 10).
; 11).
.
II. Функция комплексного переменного
Определение:Комплексная переменная величина W называется функцией комплексной величины Z , если каждому значению, которое может принимать величина Z, соответствует определенное комплексное числовое значение W = u + iv , те w = f(z).
Различают однозначные функции и многозначные
Определение:
Если каждому z D соответствует одно значение w, то функция w = f(z) называется однозначной. Если каждому z
D соответствует несколько значений w, то функция w = f(z) называется многозначной.
Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке
являются непрерывность в этой точке частных производных 1-го порядка функций
и
по обеим переменным и выполнение равенств
,
Определение: Функция w = f(x), дифференцируемая в каждой точке некоторой области D, называется аналитической в этой области
Исследовать на аналитичность
12). ; 13).
; 14).
; 15).
;
Найти аналитическую функцию по заданной действительной или мнимой части
16). 17).
18). 19).
и
20). 21).
III. Элементарные функции комплексного переменного
1. Степенная функция: , где
.
а) натуральное число, тогда
.
б) , где
, где
Функция многозначная ( q – значная) Однозначная ветвь этой функции получается, если придать к определенное значение
в) , где
несократимая дробь.
, где
2. Показательная функция:
, где
определяется равенством
3. Логарифмическая функциия:
Lnz = ln ;
4. Тригонометрические функции:
,
,
5. Гиперболические функции:
,
,
,
.
;
- формулы связи между тригонометрическими и гиперболическими функциями
6. Обобщенная показательная функция w = и обобщенная степенная w =
(а, z - произвольные комплексные числа,
) функции определяются соотношениями
.
22). Вычислить а) ; б)
; 23). Решить уравнение
.
24). Найти
а) z = , б) z =
, в) z =
, г) z =
.
25). Вычислить а) Ln(4); б) Ln(-1); в) ; г)
.
Найти действительную и мнимую часть выражения:
26). а) ; б) sin2i; в) cos(2 + i); г)tg(2-i);
27). Вычислить а) б)
в)
г)
.