Расчет сложной электрической цепи

ЧАСТЬ I. РАСЧЕТ ПОЛЯ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ И ЕЕ ХАРАКТЕРИСТИК.

Задание:

Дан бесконечно длинный проводящий цилиндр радиусом R₁, окруженный двумя слоями диэлектрика с диэлектрическими проницаемостями ε₁ и ε₂. Граница раздела диэлектриков представляет собой цилиндрическую поверхность радиусом R₂.

В зависимости от расстояния r между осью цилиндра и произвольной точкой найти электрическое смещение D, напряженность E, поляризованность P, потенциал U и плотность энергии электрического поля. Построить зависимости D=D(r), E=E(r), P=P(r), U=U(r).

Определить:

- энергию электрического поля W_э1, заключенную в области диэлектрика с ε₁;
- обобщенную силу, действующую на поверхность цилиндра на единицу осевой длины;
- емкость цилиндра относительно проводящей цилиндрической оболочки радиусом на единицу осевой длины.

Исходные данные:

R2

R1

ε1

ε2

Решение:

1. Разделим рисунок на три области:

0: 0≤r≤R₁

1: R₁≤r≤R₂

2: R₂≤r≤R₃

2. Найдем для каждой из областей:

2.1. 0: 0≤r≤R1

В области цилиндра поля нет, следовательно:

2.2. 1: R₁≤r≤R₂

Используем постулат Максвелла:

Имеем:

Отсюда:

Рассчитаем τ по заданным параметрам:

Так как следовательно:

;

Так как .

Отсюда:

= .

2.3. 2: R₂≤r≤R₃

Аналогично области 1 получаем: , ;
= .

3. Приняв , найдем для каждой из областей:

3.1 ;

Так как поля внутри цилиндра нет, то , получаем:

=

.

3.2

.

3.3

.

4. Найдем энергию электрического поля W_э1, заключенную в области диэлектрика с ε₁:

4.1 Найдем

.

4.2 Найдем :

.

5. Найдем обобщенную силу, действующую на поверхность цилиндра на единицу осевой длины:

Так как , получаем:

6. Найдем емкость цилиндра относительно проводящей цилиндрической оболочки радиусом на единицу осевой длины:

U1

U2

R3=2 R2

R2

R1

Искомая величина равна емкости цилиндрического конденсатора на единицу осевой длины.

7. Полученные результаты:

7.1 в зависимости от области:

0: .

1:

.

2: ,

7.2 Плотность энергии электрического поля:

.

7.3 Энергию электрического поля W_э1, заключенная в области диэлектрика с ε₁:

.

7.4 Обобщенная сила , действующая на поверхность цилиндра:

.

7.5 Емкость цилиндра относительно проводящей цилиндрической оболочки радиусом :

8. Графики зависимостей:

R1

R2

R3

R1

R2

R3

ЧАСТЬ II. РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО
ТОКА С ПОМОЩЬЮ ЗАКОНА ОМА
И ЗАКОНОВ КИРХГОФА.

Расчет входного сопротивления электрической цепи и токов во всех ветвях при подключении цепи к источнику э.д.с.

Задание.

Определить входное сопротивление цепи постоянного тока со стороны полюсов b и c при замкнутом и разомкнутом положениях ключа. Сопротивления всех резисторов Rk = 10 Ом.

Найти токи во всех ветвях схемы при подключении цепи к источнику напряжения U = 100 В.

Рассчитать напряжение между зажимами a и c .

Исходные данные.

a

b

c

R_k = 10 Ом.
U = 100 В.

Решение.

а) Ключ разомкнут:

b

I1

I2

I3

I4

R2

R1

R3

R4

c

d

Изобразим схему при разомкнутом ключе, зададим условные положительные направления токов в ветвях:

b

I1

I2

I3

I4

R2

R1

R3

R4

c

d

Схема 1a

Представим схему в удобном для расчета виде:

b

I1

I2

R2

R1

Rэ1

c

d

Схема 2a

Преобразуя участки с последовательным и параллельным соединением элементов, получим следующие эквивалентные схемы:

.

Rэ2

b

I1

I2

R1

c

Схема 3a

.

b

Rвх

c

Схема 4a

Iвх

Uвх

.

Найдем токи в ветвях схемы:

Из схемы 4а:

.

Из схемы 3а:

.

.

Из схемы 2а:

.

Из схемы 1а:

.

Найдем напряжение между зажимами a и c:

Так как на участке ab ток равен 0, то .

б) Ключ замкнут:

Изобразим схему при замкнутом ключе, зададим условные положительные направления токов в ветвях:

a

b

c

d

e

I1

I2

I3

I4

R2

R1

R3

R4

I5

I6

I7

R5

R6

R8

R7

R9

Представим схему в удобном для расчета виде:

I5

I6

R5

R6

b

I1

I2

I3

I4

R2

R1

R3

R4

c

d

Схема 1б

a

R8

R7

R9

I7

e

Rэ2

b

I1

I2

R2

R1

Rэ1

c

d

Схема 2б

a

R8

R7

R9

I7

e

Преобразуя участки с последовательным и параллельным соединением элементов, получим следующие эквивалентные схемы:

;

.

b

I1

I2

R1

Rэ4

c

Схема 3б

Rэ3

I7

;

.

b

Rвх

c

Схема 5б

Iвх

Uвх

b

I1

Iэ5

R1

c

Схема 4б

Rэ5

;

.

Найдем токи в ветвях схемы:

Из схемы 5б:

.

Из схемы 3б:

;

;

.

Из схемы 2б:

;

.

Из схемы 1б:

;

.

Найдем напряжение между зажимами a и c:

Из схемы 2б:

.

Расчет сложной электрической цепи.

Задание.

Найти токи и напряжения ветвей в электрической цепи постоянного тока.

Проверить условие баланса мощности в цепи.

Определить напряжение между отмеченными на схеме точками A и B.

Исходные данные.

В

А

R1

R3

R2

R4

Е1

Е3

Е4

J

.

Решение.

В

А

R1

R3

R2

R4

Е1

Е3

Е4

J

J

I1

I2

I3

I4

I

II

Представим схему в удобном для расчета виде, зададим условные положительные направления токов, обозначим узлы, направление обхода контуров:

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для 1 и 2 узлов:

.

Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для I и II контуров:

.

Подставляя числовые данные, получаем следующую систему уравнений:

.

Корнями уравнений системы являются искомые токи. Решим ее и найдем их:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Определим напряжения в ветвях схемы:

;

;

;

.

Проверим условие баланса мощности в цепи:

;

;

;

;

;

;

, Баланс сходится.

Определим напряжение между точками А и В:

.

Для проверки определим напряжение между точками А и В по другому контуру:

.