Пример расчета переходного процесса в цепи

С помощью интеграла Дюамеля

Пусть цепь, представленная на рис. 7.1, подключается к источнику входного напряжения пилообразной формы (рис. 7.2). Параметры цепи: = 5 Ом, = 10 Ом, L = 100 мГн. Требуется рассчитать .

Рис. 7.1. Схема к примеру расчета цепи с помощью интеграла Дюамеля

Рис. 7.2. Форма заданного входного напряжения

Определяем переходную характеристику для расчета тока как величину, численно равную этому току при подключении цепи к источнику постоянного напряжения U = 1 B. Расчет ведем, например, классическим методом. В результате расчета получаем

,

тогда

.

Подставляем численные значения параметров схемы:

Ом^–1.

С помощью интеграла Дюамеля вычисляем ток , учитывая, что входное напряжение имеет форму, показанную на рис. 7.2.

В интервале времени 0 £ t< t₁

B,

.

Тогда для первого интервала времени

=

.

В интервале времени t₁ £ t< ¥

,

.

Сравнивая результаты расчета тока в разные интервалы времени, отмечаем, что для первого интервала, когда в цепи действует источник возмущения, решение содержит и принужденную и свободную составляющие.

Во втором интервале времени источник возмущения прекратил действие, поэтому ток содержит только свободную составляющую.

З а д а ч а 7. 1

Определите ток или напряжение, указанное в столбцах № 5, 10 таблицы 7.1, если электрическая цепь, схема которой показана на рис. 7.3, включается под действие источника э.д.с. Е=1 В или источника тока J=1 А. Во всех схемах = 5 Ом. Параметры остальных элементов указаны в табл. 7.1.

Рис. 7.3. Схемы к задаче 7.1

З а д а ч а 7. 2

Определите переходную характеристику, указанную в табл. 7.3, для схемы из табл. 7.2, соответствующей заданному варианту.

Таблица 7.1

Исходные данные к задаче 7.1

Вариант	Схема рис.7.3	L, мГн	С, мкФ	Рассчитать	Вариант	Схема рис.7.3	L, мГн	С мкФ	Рассчитать
	а		–			г	–
	б	–				а		–
	в		–			б	–
	г	–				в		–
	а		–			г	–
	б	–				а		–
	в		–			б	–
	г	–				в		–
	а		–			г	–
	б	–				а		–
	в		–			б	–
	г	–				в		–
	а		–			г	–
	б	–				в		–
	в		–			г	–

Таблица 7.2

Схемы к задаче 7.2

№ п/п	Схема	№ п/п	Схема

Продолжение табл. 7.2

№ п/п	Схема	№ п/п	Схема

Окончание табл. 7.2

Таблица 7.3

Исходные данные к задаче 7.2

Вариант	Номер схемы из табл.7.2									Определить
Гн	мкФ	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом
		0,03	–
		0,02	–
		0,06	–
		–

Окончание табл. 7.3

Вариант	Номер схемы из табл.7.2									Определить
Гн	мкФ	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом
		0,08	–
		0,03	–
		–
		–
		0,05	–
		–
		–
		–
		–
		–
		–
		0,7	–
		–
		–
		–
		–
		–
		–
		0,05	–
		–
		–
		0,03	–
		0,08	–
		–
		0,06	–
		0,02	–

З а д а ч а 7. 3

Электрическая цепь, схема которой выбирается в соответствии с номером варианта по табл. 7.4 и рис. 7.5, включается под действие напряжения, изменяющегося во времени по заданному закону . График изменения входного напряжения от времени приведен на рис. 7.4, параметры – в табл. 7.4.

Определите закон изменения во времени величины, указанной в табл.7.4. Задачу решите с помощью интеграла Дюамеля для трех интервалов времени: 0 £ t< t₁, t₁ £ t< t₂, t₂ £ t< ¥.

Рис. 7.4. Графики изменения входного напряжения от времени t к задаче 7.3

Рис. 7.5. Схемы к задачам 7.3 и 8.1

Таблица 7.4

Исходные данные к задаче 7.3

Вариант	Схема (рис. 7.5)	Форма входного напряжения (рис. 7.4)	Параметры цепи	Записать аналитическое выражение
Ом	Гн	мкФ
	а	а		0,1	–
	б	б		–
	а	в		0,1	–
	б	г		–
	а	д		0,1	–
	б	е		–
	б	б		–
	а	в		0,1	–
	б	г		–
	а	д		0,1	–
	б	е		–
	а	а		0,2	–
	б	б		–
	а	в		0,2	–
	б	г		–
	а	д		0,2	–
	б	е		–
	а	а		0,2	–
	б	б		–
	а	в		0,2	–
	б	г		–
	а	д		0,2	–
	б	е		–
	а	а		0,5	–
	б	б		–
	а	в		0,5	–
	б	г		–
	а	д		0,5	–
	б	е		–

ЗАНЯТИЕ 8