Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах

2.1 Уравнение вида

(1)

Легко решается в квадратурах путем п кратного интегрирования:

.

Часто произвольные постоянные не выписываются в явном виде, а подразумеваются включенными в интегралы.

2.2 Уравнение вида

(2)

которое не разрешимо в элементарных функциях относительно производной следует заменить двумя параметрическими уравнениями:

эквивалентными уравнению (2).

По определению, , или, в нашем случае, откуда

;

далее,

и т.д.

(Мы не пишем произвольных постоянных, включая их в знак неопределенного интеграла; если написать их явно, то, например, в выражении для появится член С₁, в выражении для члены С₂ и С₁ х или и т.д.)

В результате получим:

Если из этих двух соотношений исключить t, получим общий интеграл уравнения (2).

П р и м е р 1.

Здесь разрешение относительно в элементарных функциях невозможно. За параметр t удобно взять , и мы получаем параметрические уравнения: = t , . Отсюда

далее,

или

Последняя формула вместе с выражением для х: дает параметрическое представление общего решения данного уравнения.

2.3 Уравнение вида

(3)

введением новой функции z : приводится к уравнению первого порядка , которое легко интегрируется методом разделения переменных:

Допустим, что это соотношение разрешено относительно z:

Заменяя z его значением , получим уравнение (п – 1)-го порядка:

Которое рассмотрено в разд. 2.1 ; при его интеграции войдут еще п – 1 произвольных постоянных, и мы получим общее решение уравнения (3) в виде:

.

2.4 Уравнение вида

(4)

приводится к квадратурам при любом натуральном п. Если оно легко разрешимо относительно старшей производной, то приходим к рассмотренному выше типу 2.3.

В противном случае уравнение (4) заменяем двумя параметрическими уравнениями

Тогда соотношение или дает нам откуда х получается квадратурой:

Далее находим последовательно:

и, наконец,

Т.е. опять представление у и х в функции параметра t и п произвольных постоянных , следовательно, общее решение.

П р и м е р 2.

Согласно изложенной теории, полагая , получаем уравнение первого порядка:

или

откуда

Дальше удобно интегрировать в параметрическом виде:

Отсюда находим:

Исключая параметр , получаем общий интеграл:

представляющий уравнение семейства всех окружностей радиуса а на плоскости х, у.

П р и м е р 3. Найти решение задачи Коши

Пусть тогда или Интегрируя полученное уравнение, находим общее решение:

Учитывая начальные условия, определим С₁ и С₂ :

Частное решение уравнения запишется в виде

2.5 Уравнения вида

(5)

также интегрируются в квадратурах. Введение нового переменного приводит

уравнение (5) к уравнению второго порядка: Если это уравнение разрешено относительно , т.е. имеет вид: то один из методов его интеграции таков: умножив обе части на , получаем: или в дифференциалах:

откуда

Последнее уравнение можно разрешить относительно производной и разделить переменные:

отсюда находим общий интеграл уравнения :

Этот интеграл при замене z на принимает вид:

т.е. уравнение вида (2); оно интегрируется, как мы уже знаем, квадратурами, причем эта интеграция дает еще п – 2 произвольных постоянных. И мы получим общее решение уравнения (5).

П р и м е р 4.

Полагая приходим к уравнению: ; умножим обе части на :

или

интегрируя, находим:

,

откуда

Вторая интеграция дает:

или

Чтобы решить последнее уравнение относительно z , выгодно поступить следующим образом: делим 1 на обе части последнего равенства:

в левой части освобождаемся от иррациональности в знаменателе, затем умножаем обе части на (-С₁) и получаем:

Складывая это уравнение с исходным и деля на 2, получаем:

Подставляя вместо z его значение и интегрируя два раза, находим:

где А, В, С, D – произвольные постоянные.

2.6 Уравнение типа в параметрическом виде

Если уравнение (5) дано в не разрешенном относительно виде, но известно

его параметрическое представление

то интеграция совершается следующим образом. Мы имеем два равенства:

связывающих две неизвестные функции от t, именно х и у; исключая делением на dx, получаем дифференциальное уравнение для :

или, в силу параметрического представления, получим

откуда квадратурой находим далее получим:

.

Имея параметрическое представление и , мы свели задачу к типу 2.4. Дальнейшие квадратуры дадут п – 1 новых производных постоянных.