Производная логарифмической функции
Теорема. Производная от функции равна
т.е. если
то
Доказательство. Если ∆y есть приращение функции соответствующее приращению ∆x аргумента x, то
Умножим и разделим на x выражение, стоящее в правой части последнего равенства:
Обозначим величину через
.Очевидно,
при ∆x→0 и данном x. Следовательно,
Но, как известно
Если же выражение, стоящее под знаком логарифма, стремится к числу e, то логарифм этого выражения стремится к Поэтому окончательно получаем
Заметив, что полученную формулу можно переписать так:
Отметим важный частный случай этой формулы: если
т.е. если то
§7. Производные функций y=tgx , y=ctgx.
Теорема 1. Производная от функции tgx равна т.е. если
то
Доказательство. Так как
то по правилу дифференцирования дроби получаем
Теорема 2. Производная от функции ctgx равна т.е. если y=ctgx, то
Доказательство. Так как то