Проверка гипотезы равномерного распределения

Задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru в виде последовательности интервалов Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru и соответствующих им частот Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru , причем Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru (объем выборки). Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина X распределена равномерно.

Правило. Для того чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru , т.е. по закону

Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru

надо:

1. Оценить параметры Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru и Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru - концы интервала, в котором наблюдались возможные значения Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru , по формулам (через Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru и Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru обозначены оценки параметров)

Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru .

2. Найти плотность вероятности предполагаемого распределения

Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru .

3. Найти теоретические частоты:

Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru

Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru

Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru .

4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru , где Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru - число интервалов, на которые разбита выборка.

Задача №658. Произведено n=200 испытаний, в результате каждого из которых событие А появлялось в различные моменты времени. В итого было получено эмпирическое распределение, приведенное в табл.1(в первой строке указаны интервалы времени в минутах, во второй – соответствующие частоты, т.е. число появления А в интервале). Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что время появления событий распределено равномерно.

Таблица 13

интервал 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22
частота

Составим гистограмму

Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru

Рис. 1

По виду гистограммы частоты отклоняются от некоторой прямой. Предположим, что имеем равномерное распределение.

Решение 1. Найдем оценки параметров Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru и Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru равномерного распределения по формулам: Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru , Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru

Для вычисления выборочной средней Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru и выборочного среднего квадратического отклонения Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru примем середины Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru интервалов в качестве вариант (наблюдаемых значений X). В итоге получим эмпирическое распределение равноотстоящих вариант:

Таблица 14

№ п/п
Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22
Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru
Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru

Таблица 15

№ п/п
Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru  
Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru
Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru
Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru  
Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru

Пользуясь, например, методом произведений, найдем:

Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru

Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru

Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru

Следовательно:

Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru

Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru

2. Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения:

Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru

3. Найти теоретические частоты:

Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru

Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru

Длины третьего-девятого интервалов равны длине второго интервала, поэтому теоретические частоты, соответствующие этим интервалам и теоретическая частота второго интервала одинаковы, т.е.

Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru

Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru .

4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru . Для этого составим таблицу.

Таблица 16

i Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru
17,4 3,7 13,69 0,79
-4 0,80
-5 1,25
1,80
0,20
-6 1,80
0,05
0,20
-2 0,20
23,6 1,4 1,96 0,08
    Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru

Из расчетной таблицы получаем Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru . По таблице находим Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru . Так как Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru < Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru нет оснований отвергать гипотезу о равномерном распределении. Данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.

Контрольные вопросы.

1. Что называется статистической гипотезой?

2. Какие критерии согласия вы знаете?

3. Как определяется число степеней свободы? В каком критерии оно используется?

4. Когда необходимо объединять интервалы?

5. Можно ли использовать критерий Проверка гипотезы равномерного распределения - student2.ru , если имеется 20 опытных данных?

6. Может ли критерий согласия давать согласие с несколькими законами распределения?

Библиографический список.

1. Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2002.

2. ГОСТ 11. 006- 74. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим.

3. Шторм Р. Теория вероятностей. Математическая статистика. Статистический контроль качества. М.: Мир, 1970.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Таблица 17   Долговечность деталей, час   Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
Продолжение таблицы 17   Время час    
  п/п    
  Время час    
  п/п    
  Время час    
  п/п    
  Время час    
  п/п    
  Время час    
  п/п    
  Время час    
  п/п    
  Время час    
  п/п    
  Время час    
  п/п    
                                                                                                   
Продолжение таблицы 17   Время час  
  п/п .399  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
Продолжение таблицы 17   Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
Окончание таблицы 17   Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Таблица 18   Долговечность деталей, час   Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
Продолжение таблицы 18   Время час    
  п/п    
  Время час    
  п/п    
  Время час    
  п/п    
  Время час    
  п/п    
  Время час    
  п/п    
  Время час    
  п/п    
  Время час    
  п/п    
  Время час    
  п/п    
                                                                                                   
Продолжение таблицы 18   Время час  
  п/п .399  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  
  Время час  
  п/п  

Наши рекомендации