Основные теоремы о производных
Операция нахождения производной называется дифференцированием; функция, имеющая конечную производную на данном множестве – дифференцируема на данном множестве. Учение о производной и ее приложениях составляет предмет -дифференциальное исчисление.
Рассмотрим основные правила дифференцирования
Производная функции y=f(x) может быть найдена по следующей схеме:
1) аргументу х даем приращение и находим для функции y соответствующее приращение 
2) составляем отношение 
3) находим предел этого отношения при условии, что 
. Результат предельного перехода 
и является производной y’ от функции y по аргументу х, если конечно он существует.
Пользуясь этой схемой, найдем производные от некоторых простейших функций.
- Производная от степенной функции
Пусть . Имеем 
. Применяя формулу бинома Ньютона, получаем
Тогда 
и 
. Следовательно 
Имеем теорему
Производная от целой положительной степени независимой переменной равна показателю степени умноженному на основание в степени га единицу меньшую.
- Производная от функции y=sinx
Пусть y=sinx (x - в радианной мере).
Тогда 
. Следовательно y’=(sinx)’=cosx
Основные формулы дифференцирования
Предположим, что все рассматриваемые функции определены и дифференцируемы на некотором общем интервале, причем все используемые значения 
принадлежат данному интервалу.
Производная постоянной величины равна 0.
Пусть f(x)=c, то есть функция одно и тоже значение. При 
. Тогда
(1)
- Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных этих функций.
Пусть y=u+v-w, где u,v,w – дифференцируемые функции от х.
Тогда для 
. Переходя к пределу при и учитывая, что каждое слагаемое имеет предел, находим
. Пользуясь определением производной, окончательно получим y’=u’+v’-w’
Окончательно (u+v-w)’=u’+v’-w’ (2)
Пример
Следствие
Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны между собой.
Действительно [f(x)+c]’=f’(x)+c’=f’(x)=0=f’(x)
- Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй сомножитель плюс произведение первого сомножителя на производную второго сомножителя.
(3)
Пример
Следствие 1
Постоянный множитель можно выносить за знак производной
(cu)’=c’u+cu’=0u+cu’. (cu)’=cu’
Следствие 2
Если y=uvw, где u,v,w – дифференцируемые функции, то
y’=(uvw)’=[(uv)w]’=(uv)’w+(uv)w=u’vw+uv’w+uvw’