Правило 3. (корни характеристического уравнения действительные, кратные)
Тема 10. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
С постоянными коэффициентами
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристические уравнения
Дифференциальное уравнение вида (10.1)
где - известная функция, называющаяся линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Если то уравнение (10.1) называется однородным, в противном случае – неоднородным.
Если f(x) – непрерывная на сегменте функция, то общее решение уравнения (10.1) состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения (10.1).
Фундаментальную систему решений уравнения
(10.2)
можно найти, используя алгебраические методы, следующим образом (Метод Эйлера). Исходя из (10.2), составляем алгебраическое уравнение , (10.3).
называемое характеристическим. Оно имеет n корней, среди которых могут быть действительные простые и краткие корни, а также пары комплексно-сопряженных корней (простых и кратных).
Правило 1. (корни характеристического уравнения простые и действительные)
Если все корни характеристического уравнения (10.3) различные действительные числа то фундаментальная система решений уравнения (10.2) имеет вид и соответствующая компонента общего решения уравнения (10.2) имеет вид где - произвольные постоянные.
Пример 10.1.Найти общее решение уравнения .
Составим характеристическое уравнение согласно (10.3) . Находим его корни Фундаментальной системой решений, согласно правилу 1 является Общее решение исходного уравнения .
Правило 2. (корни характеристического уравнения пара комплексно-сопряженных корней)
Если среди различных корней характеристического уравнения (10.3) есть пара комплексно-сопряженных корней то этой паре корней соответствует два линейно независимых решения вида а соответствующая компонента общего решения уравнения имеет вид
Пример 10.2.Найти общее решение уравнения
Составим характеристическое уравнение . Находим корни Получаем следующую ФСР: .Общее решение исходного уравнения имеет вид
Правило 3. (корни характеристического уравнения действительные, кратные)
Если среди корней характеристического уравнения (10.3) есть равные действительные числа то корню кратности k соответствует k-линейно независимых частных решений а соответствующая компонента общего решения уравнения имеет вид где - произвольные постоянные.
Пример 10.3. Найти общее решение уравнения .
Составим характеристическое уравнение . Находим корни , . Общее решение исходного уравнения имеет вид