Выбор постоянных весовых коэффициентов

Теоретическая часть

Пусть система описывается векторным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами:

- матрица коэффициентов объекта управления, коэффициенты зависят от времени;

- прямоугольная матрица распределения управляющих воздействий. Коэффициенты этой матрицы также зависят от времени.

Необходимо перевести систему из некоторого начального состояния x(t₀) в заданное конечное состояние

x(t_k) ≅0, (2)

используя допустимые функции управления и не выходя за допустимые пределы по фазовым переменным в процессе движения.

Один из методов решения этой задачи состоит в минимизации критерия качества, представляющего собой сумму квадратичной формы от вектора конечного состояния и интеграла от суммы квадратичных форм вектора состояния и вектора управления

Здесь G_k и Q(t) - положительно полуопределенные матрицы, R(t) - положительно определенная матрица.

Управление , минимизирующее (3), можно найти путем совместного решения уравнения (1) и уравнения Эйлера-Лагранжа

где гамильтониан

откуда

.

Подстановка (7) в (1) приводит к следующей линейной краевой задаче:

Результатом решения двухточечной краевой задачи (8), (9) является программное управление

где симметричная матрица S(t) определяется из матричного уравнения Риккати

при граничном условии S(t_k) = G_k, а и связаны линейным преобразованием

Вектор можно найти из уравнения

Для задачи терминального управления основной интерес представляет сам непрерывный закон управления с обратной связью

.

Выбор постоянных весовых коэффициентов

Закон управления и реакция системы в значительной степени зависят от выбора весовых коэффициентов показателя качества. Взаимосвязь весовых коэффициентов и параметров оптимальной системы или ее реакцией в общем случае очень сложная.

Для получения допустимых уровней величин , и матрицы G_k, Q(t) и R(t) могут быть выбраны, например, диагональными со следующими элементами:

Для стационарных систем метод выбора коэффициентов функционала предложен Эллертом.

Для объекта второго порядка, описываемого уравнением

с показателем качества

где t_k=∞, а матрицы Q и R имеют вид

закон управления имеет вид

в котором коэффициенты определяются из решения системы нелинейных алгебраических уравнений (11) Риккати

а вектор определяется из уравнения (13)

Так как замкнутая система линейная стационарная, то ее передаточная функция определяется как

Согласно процедуре Эллерта выбор коэффициента “демпфирования” ζ обеспечивает требуемую степень устойчивости системы при условии, что ни одна из переменных системы не превышает заданных пределов.

Постоянная времени T выбирается в соответствии с требуемой полосой пропускания системы или ограничениями на u₂(t) из уравнения

при подстановке в него максимально допустимой величины u₂(t), “наихудших” x₁(t), x₂(t) и v₁(t), предварительно разрешив уравнения (22) относительно .

После определения ζ и T весовые коэффициенты q₁₁ и q₂₂ задаются уравнениями

Для выпуклости функционала качества весовые коэффициенты q₁₁ и q₂₂ должны быть неотрицательными. В сущности, это требование служит проверкой непротиворечивости требований проектирования в предположении правомерности выбора квадратичного показателя качества с постоянными весовыми коэффициентами.

После определения этих величин предположение о бесконечном t_k отбрасывается (это является слабым местом методики Эллерта) и рассчитывается оптимальная система для заданного t_k.

Для объектов, описываемых уравнениями более высокого порядка, уравнение (23) принимает вид

соответственно для систем первого, второго и третьего типа, то есть систем соответственно с нулевой установившейся ошибкой при единичном ступенчатом входном сигнале, единичном линейно нарастающем входном сигнале и т.д.

Практическая часть

Исходные данные:

ü Коэффициент обратной связи

ü Постоянная времени

ü

Структурная схема исследуемой системы иммет вид:

Согласно исходным данным, передаточная функция имеет вид:

При переходе в пространство состояний имеем:

> W=[tf([16],[0.01 0.08 1]) tf([16],[0.01 0.08 1])]

Transfer function from input 1 to output:

---------------------

0.01 s^2 + 0.08 s + 1

Transfer function from input 2 to output:

---------------------

0.01 s^2 + 0.08 s + 1

>> [A,B,C,D]=SSDATA(W)

A = // матрица системы

0 -12.5000

8.0000 -8.0000

B = // матрица управления

0 0

0 8.0000

C = // матрица выхода (наблюдения)

1.0000 0

0 12.5000

Q = // матрица весовых коэффициентов

4.5903 0

0 0.0000

Для исходной системы ЛАЧХ имеют вид:

Переходной процесс исследуемой системы:

Матрицу R вычислим по методу Брайсона и Хо Ю-ши :

для

Матрицу коэффициентов обратной связи найдем с помощью подпрограммы lqr (пакетMatLAB)

[K,S,E]=lqr(A,B,Q,R)

sys1=ss(A,B,eye(2),D);

sys2=ss(K);

sys3=ss(C);

Pss1=feedback(sys1,sys2);

Pss1=series(Pss1,sys3);

[A1,B1,C1,D1] = ssdata(Pss1);

С учетом всего выше изложенного график оптимального управления имеет вид:

Далее используем подпрограмму feedback, для того, чтобы сформировать замкнутую систему управления и построить переходной процесс оптимальной системы.