Евклидовы и унитарные пространства.

Основные типы задач этого параграфа:

· проверка выполнения аксиом скалярного произведения и доказательство его различных свойств (№№1351-1354, 1384);

· ортогонализация данной системы векторов, построение ортогональных и ортонормированных базисов (№№1355-1363);

· построение ортогональных дополнений данных подпространств (№№1364-1368);

· нахождение ортогональных проекций и перпендикуляров на подпространство (№№1369-1372);

· вычисление длин, расстояний, углов (№№1373-1406).

Процесс ортогонализации Шмидта.

Обычно метод ортогонализации Шмидта рассматривают и обосновывают в лекциях. Тем не менее, подчеркнем, что данная система векторов и ортогональная, т.е. полученная из данной методом Шмидта , являются эквивалентными системами - их линейные оболочки совпадают. Поэтому ортогонализация системы векторов, порождающей подпространство , приводит к построению ортогонального базиса . Обратим внимание на некоторые частные случаи, встречающиеся в задачах:

1. если подлежащая ортогонализации система распадается на две взаимно ортогональные подсистемы и , то для решения задачи достаточно ортогонализировать каждую из этих подсистем независимо от другой;

2. если выяснилось, что подсистема уже ортогональна, то ортогонализацию начинаем с вектора , полагая

и дальше по стандартной схеме;

3. если в процессе ортогонализации, полученная система векторов содержит нулевой вектор, то можно сразу сказать, что исходная система является линейно зависимой.

Задача 2.1. Применить процесс ортогонализации к следующей системе векторов из : , .

Решение.Можно сразу заметить, что система распадается на две взаимно ортогональные подсистемы и . Поэтому ортогонализируем каждую из подсистем независимо друг от друга.

, ,

, .

, .

,

.

Ортогональные дополнения.

Задачи этого раздела не вызовут трудностей, если разобраться в свойствах решений линейной однородной системы как векторов евклидова (унитарного) пространства.

Рассмотрим пространство и систему линейных однородных уравнений над :

(4)

Обозначив и , перепишем систему (4) в виде

(5)

Пусть . Тогда уравнения (5) означают, что и, следовательно, , а каждый вектор из является решением системы (4). Итак, множество решений системы (4) и линейная оболочка ее строк коэффициентов являются ортогональными дополнениями друг для друга в пространстве . (Какие изменения надо внести в рассуждения в случае пространства ?)

Задача 2.2. Найти базис ортогонального дополнения подпространства , натянутого на векторы:

.

Найти уравнения, задающие подпространство .

Решение.Так как , то состоит из множества решений системы уравнений

Находим фундаментальную систему ее решений (ранг системы 2)

.

Следовательно, , а система уравнений со строками коэффициентов и

задает подпространство , как множество решений этой системы (убедитесь: системы векторов и , взаимно ортогональны, а объединение их базисов есть базис ).

Аналогичные соображения используются при дополнении ортогональной системы до ортогонального базиса.