Выделение областей устойчивости системы

Критерии устойчивости позволяют определить устойчива ли система регулирования, если все ее параметры - конструктивные, настроечные заданы. Однако динамические характеристики объекта регулирования и настройки регулятора в процессе эксплуатации могут изменяться в определенных пределах. В связи с этим возникает задача определения совокупности значений параметров, при которых система регулирования заданной структуры остается устойчивой.

Предположим, что в характеристическом уравнении системы регулирования

Выделение областей устойчивости системы - student2.ru (5-17)

все коэффициенты, за исключением двух, например Выделение областей устойчивости системы - student2.ru и Выделение областей устойчивости системы - student2.ru заданы. Построим плоскость с прямоугольными координатами Выделение областей устойчивости системы - student2.ru и Выделение областей устойчивости системы - student2.ru . В квадранте Выделение областей устойчивости системы - student2.ru и Выделение областей устойчивости системы - student2.ru произвольно выбираем точку, для которой соответствуют коэффициенты Выделение областей устойчивости системы - student2.ru и Выделение областей устойчивости системы - student2.ru . Подставив их значения в характеристическое уравнение системы, определим корни этого уравнения. Если все найденные корни уравнения расположены слева от мнимой оси на комплексной плоскости корней, то это будет означать что система устойчива. Точку, выбранную на плоскости Выделение областей устойчивости системы - student2.ru с координатами Выделение областей устойчивости системы - student2.ru и Выделение областей устойчивости системы - student2.ru обозначим (-).

Выберем произвольно вторую точку с координатами Выделение областей устойчивости системы - student2.ru и Выделение областей устойчивости системы - student2.ru и, подставив в характеристическое уравнение значения этих коэффициентов, определим его корни. Если хотя бы один корень будет расположен справа от мнимой оси плоскости корней, то обозначим эту точку знаком (+), т.е. система регулирования при этом будет неустойчива.

Если при Выделение областей устойчивости системы - student2.ru и Выделение областей устойчивости системы - student2.ru хотя бы одна пара корней лежит на мнимой оси комплексной плоскости корней, обозначим точку на плоскости коэффициентов Выделение областей устойчивости системы - student2.ru нулем, что означает границу устойчивости системы регулирования.

Повторяя последовательно этот процесс, дадим коэффициентам Выделение областей устойчивости системы - student2.ru и Выделение областей устойчивости системы - student2.ru все возможные значения, отметим точки на плоскости Выделение областей устойчивости системы - student2.ru знаками (-), (+),0 и проведем кривую через точки отмеченные нулем.

Выделение областей устойчивости системы - student2.ru

Рис. 5.6 Плоскость коэффициентов.

Эта кривая будет границей устойчивости в плоскости двух коэффициентов Выделение областей устойчивости системы - student2.ru и Выделение областей устойчивости системы - student2.ru характеристического уравнения системы регулирования. (Рис. 5.6)

Часть плоскости, включающая совокупность точек со знаком (-) называется областью устойчивости, а часть плоскости со знаком (+) – областью неустойчивости.

Область устойчивости в плоскости двух параметров системы была впервые выделена И.А. Вышнеградским в 1877 г., профессором С-Петербургского технологического института.

Аналогично весь процесс может быть проделан для любых других коэффициентов характеристического уравнения системы, например, для трех, и в этом случае получают объем устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического уравнения.

Работы, в которых завершена разработка приемов выделения областей устойчивости и изложена общая точка зрения на разные критерии устойчивости были выполнены в России Ю.И. Неймарком.

Выделение области или объема устойчивости называют Д-разбиением плоскости или пространства параметров системы или определением границы ее устойчивости. Границу устойчивости называют границей Д-разбиения, имея ввиду обозначения характеристического уравнения Выделение областей устойчивости системы - student2.ru . Переход через границу Д-разбиения соответствует в плоскости корней переходу корней через мнимую ось. (Рис. 5.7)

Выделение областей устойчивости системы - student2.ru

Рис. 5.7 Плоскость корней характеристического уравнения.

Отсюда следует метод определения границы Д-разбиения. Она определяется параметрически заменой в исследуемом полиноме – характеристическом уравнении Выделение областей устойчивости системы - student2.ru на Выделение областей устойчивости системы - student2.ru , где Выделение областей устойчивости системы - student2.ru - переменная величина, и может быть построена при изменении Выделение областей устойчивости системы - student2.ru от -∞ до ∞. В этом смысле граница Д-разбиения есть отображение мнимой оси комплексной плоскости корней на плоскости коэффициентов характеристического уравнения.

Наши рекомендации