Проводник и контур с током в магнитном поле.

Работа по перемещению проводника и контура

С током в магнитном поле

На движущиеся в проводнике носители тока со стороны магнитного поля действуют магнитные силы. Геометрическая сумма этих сил и обусловливает воздействие магнитного поля на проводник с током. Найдем эту силу.

Рассмотрим элемент проводника длиной dl и площадью поперечного сечения S, находящийся в магнитном поле с ин- дукцией . Если концентрация носителей тока в проводнике n, а их средняя скорость упорядоченного движения , то сила действующая на элемент тока dl, определяется следую- щим образом:

. (1.30)

Учитывая, что , а , получим

, (1.31)
где dl – вектор, направленный по току.

Направление силы можно определить по правилу векторного произведения, либо по правилу левой руки.

Данная формула выражает закон Ампера, а силы, действующие на токи в магнитном поле, называютсилами Ампера. Интегрируя (1.31) по линии тока, можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной проводник в целом. В частности, для однородного поля и прямолиней- ного проводника длиной l с током I, сила Ампера равна

, (1.32)
где α - угол между направлением тока и вектора .

Выражение (1.32) позволяет также установить физический смысл и единицу измерения силовой характеристики магнитного поля. Если α = π/2 , то

, (Тесла)

т.е. индукция численно равнасиле, действующей на единицу длины проводника, по которому течет единичный ток и который расположен перпендикулярно направлению однородного магнитного поля.

I l

d x

ξ

Рис.1.8

Если проводник l, по которому течёт ток, не закреплён, то под действием силы Ампера он будет перемещаться в магнитном поле (рис.1.8). Вычислим работу, совершаемую силой Ампера, при перемеще- нии проводника на расстояние dx.

Учитывая, что , получим

,

или после интегрирования

. (1.33)

Работа, совершаемая при перемещении проводника с током в магнитном поле, равна произведению силы тока на магнитный поток сквозь поверхность, охватываемую проводником при его движении.

Найдём работу, совершаемую над замкнутым контуром. Предположим, что контур, перемещаясь, остаётся в одной плоскости (рис.1.9). Разобьём контур на два участка 1-2 и 2-1. Силы приложенные к участку 1-2, образуют с направлением перемещения острые углы, поэтому работа А₁>0.

где Ф₀ и Ф_К – потоки магнитной индукции, пересекаемые участком 1-2 при его движении.

1 dФ Ф0 I Фн 2   dF

Фк I

Рис.1.9. ZХA

Работа, совершаемая над участком 2-1 отрицательная, так как силы с направлением перемещения участка образуют тупые углы

Работа, совершаемая над всем контуром, равна

.

Разность магнитного потока в конце перемещения Ф_К и в начале перемещения Ф_Н дает приращение потока ΔФ через замкнутый контур. Таким образом

(1.34)

Эта формула справедлива при любом движении контура в произвольном магнитном поле.

Магнитное поле оказывает ориентирующее действие на замкнутый проводящий контур, по которому идет постоянный

ток. Найдем выражение для момента сил, действующих в однородном магнитном поле на плоский прямоугольный контур с током (рис.1.10).

Силы и , приложенные к проводникам 1-2 и 3-4, численно равны и направлены в противоположные стороны, поэтому они создают пару сил, вращательный момент которой

,

где S = ab - площадь контура.

Рис.1.10

Учитывая, что IS = P_м , получим

, (1.35)

или в векторной форме

. (1.36)

Таким образом, магнитное поле стремится повернуть контур с током так, чтобы его магнитный момент сориентировался в направлении вектора .

Рис.2.8

Контур с током в магнитном поле обладает определенным запасом потенциальной энергии, связанной с действием вращательного момента. Так, для того, чтобы угол α между векторами и увеличился на dα, нужно совершить работу против сил поля, равную

. (1.37)

Работа внешних сил идет на увеличение потенциальной энергии контура

. (1.38)
Интегрируя (1.38) по углу поворота и полагая константу интегрирования равной нулю, будем иметь

. (1.39)
Из полученной формулы видно, что минимум потенциаль- ной энергии достигается в положении устойчивого равновесия, когда .

1.5. Магнитное поле в веществе

1.5.1. Намагничивание вещества. Вектор намагниченности. Теорема Гаусса и теорема о циркуляции вектора для магнитного поля в веществе

Любое вещество под действием внешнего магнитного поля намагничивается, т. е. создает свое собственное поле. Для объяснения намагничивания Ампер предположил, что в веще- стве циркулируют круговые микротоки. Современные представления о строении вещества позволяют связать гипоте- тические токи Ампера с движением электронов в атомах или молекулах, а следовательно, с существованием молекулярных токов, обладающих магнитными моментами .

При отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты отдельных атомов ориентированы хаотически, поэто-

му средний суммарный магнитный момент образца равен нулю. Если же все вещество поместить во внешнее магнитное поле, то молекулярные токи будут располагаться так, что их магнитные моменты будут преимущественно ориентированы в направлении намагничивающего поля. В результате весь образец приобретает отличный от нуля суммарный магнитный момент.

Для количественной характеристики степени намагничи- вания вещества вводится вектор намагниченности , определяемый выражением

, (1.40)

где - физически бесконечно малый объем; - магнитный момент отдельной молекулы.

Суммирование проводится по всем молекулам в объеме .

Намагниченность численно равна магнитному моменту единицы объема магнетика, поэтому может быть представ- лена в виде

, (1.41)

где n – концентрация молекул; - средний магнитный момент одной молекулы.

В результате намагничивания вещества в нем появляется собственное магнитное поле , связанное с вектором соотношением

. (1.42)

Наложение внешнего поля и собственного поля вещества образует результирующее поле

. (1.43)

Линии вектора и при наличии вещества остаются непрерывными, поэтому для результирующего магнитного поля теорема Гаусса имеет тот же вид, что и для поля в вакууме, т.е.

. (1.44)

Циркуляция вектора суммарного магнитного поля в магнетике определяется не только макротоками проводимости, но и молекулярными токами, охватываемыми контуром

. (1.45)

Сумма молекулярных токов может быть выражена через вектор намагничивания

. (1.46)

С учетом этого, циркуляция вектора (1.43) приводится к виду

. (1.47)

Введя новую вспомогательную характеристику магнитного поля, называемуюнапряженностью и равную

, (1.48)

получим окончательно

. (1.49)

Таким образом, циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному контуру равна алгебраи- ческой сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром. Уравнение (1.49) называется теоремой о циркуляции вектора или законом полного тока. Из этого уравнения следует, что единицей H является ампер, делённый на метр ([H] = А/м).

В однородной изотропной среде векторы и связаны простым соотношением

, (1.50)

где c (хи) – магнитная восприимчивость среды. Подставляя (1.50) в формулу (1.48), получим

или , (1.51)

где m = 1 + c - магнитная проницаемость среды.

Вектор является аналогом электрического смещения . Его введение во многих случаях значительно упрощает расчеты поля в магнетиках, поскольку напряженность поля в веществе совпадает с напряженностью внешнего поля , тогда как индукция результирующего поля равна

. (1.52)

Магнитная проницаемость m, следовательно, показы- вает, во сколько раз магнетик усиливает внешнее поле.

В зависимости от величины магнитной проницаемости и знака магнитной восприимчивости все магнетики подразделя- ются на:

1) диамагнетики, у которых c < 0 и m < 1;

2) парамагнетики, у которых c > 0 и m > 1;

3) ферромагнетики, у которых .

1.5.2. Магнитные моменты электрона и атома.

Атом в магнитном поле

Для того чтобы более детально разобраться с природой намагничивания и объяснить существование различных видов

магнетиков, необходимо обратиться к внутреннему строению вещества и рассмотреть магнитные свойства атомов и особен- ности их поведения в магнитном поле.

Рис.1.11

Согласно представлениям классической физики, электроны в атоме движутся по замкнутым орбитам, образуя систему орбитальных токов. Электрон, движущийся по орбите радиуса r со скоростью (рис.1.11), образует круговой ток

. (1.53)

Орбитальному току соответ- ствует орбитальный магнит- ный момент электрона

. (1.54)

Движущийся по орбите электрон обладает также моментом импульса или орбитальным механическим моментом

. (1.55)

Поскольку направления скорости электрона и орбиталь- ного тока, вызванного его движением, противоположны, то противоположны также и направления векторов и (рис.1.11).

Рис.3.1

Отношение орбитального магнитногo и механического моментов получило название гиромагнитного отношения

. (1.56)

Рис.1.9

Кроме орбитальных моментов и , электрон обладает ещё собственным механическим моментом L_S, получив -шим название спина, и связанного с ним собственным магнитным моментом P_ms, гиромагнитное отношение которых в два раза больше орбитального

. (1.57)

Установлено, что для электрона

и (1.58)

, (1.59)

где , - магнетон Бора, представляющий естественную единицу магнитного момента.

Результирующий магнитный момент атома или молекулы вещества равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электрона

. (1.60)

Измерения магнитных моментов атомов дали для большин- ства из них значение порядка нескольких магнетонов Бора.

Рассмотрим теперь влияние магнитного поля на движение электронов в атомах. Пусть орбита электрона ориентирована так, что вектор орбитального магнитного момента состав- ляет с направлением некоторый угол a (рис.1.12). В данном случае на орбиту электрона будет действовать вращательный момент

, (1.61)

под действием которого векторы и будут совершать прецессию, т. е. конусообразное движение вокруг вектора . Угловая скорость прецессии совпадает по направлению с вектором индукции и определяется выражением

. (1.62)

Рис.1.12

Из данной формулы следует, что скорость прецессии не зависит ни от угла a, ни от радиуса орбиты, ни от скорости электрона и, следовательно, одинакова для всех электронов, входящих в состав атома.

Прецессия электронных орбит приводит к появлению дополнительного тока

. (1.63)

Этот ток создает индуцированный магнитный момент, направленный против внешнего поля

. (1.64)

Здесь - проекция площади орбиты на плоскость, перпенди- кулярную магнитному полю .

Наведение магнитного момента против поля свойственно всем атомам, находящимся в магнитном поле, и называется диамагнитным эффектом.

1.5.3. Диа -, пара - и ферромагнетики

К диамагнетикам относятся вещества, магнитные моменты атомов которых в отсутствие внешнего магнитного поля равны нулю. Диамагнетиками являются инертные газы, вода, стекло, мрамор, большинство органи- ческих соединений, многие металлы (висмут, цинк, золото, серебро, медь, ртуть и другие).

При внесении такого вещества в магнитное поле в каждом его атоме или молекуле за счет прецессионного движения электронных орбит наводится магнитный момент (1.64), направленный противоположно вектору , что приводит к уменьшению суммарного магнитного поля. Таким образом, для диамагнетиков магнитная восприимчивость имеет отрицательное значение, а магнитная проницаемость m < 1. Величина c диамагнетиков не зависит от температуры и напряженности магнитного поля. Процесс намагничивания диамагнетиков характеризуется линейной зависимостью от H (рис.1.13, кр.1).

К парамагнетикам относятся вещества, атомы которых в отсутствие внешнего магнитного поля обладают магнитным моментом.

Однако, намагниченность парамагнетика равна нулю, так как из - за теплового движения магнитные моменты атомов

ориентированы беспорядочно. При внесении парамагнетика в магнитное поле, наряду с возникшей прецессией электронных орбит и появлением индуцированного момента происхо- дит ориентация магнитных моментов атомов по направлению поля. При этом положительный магнитный момент оказывает- ся значительно больше, чем отрицательный индуцированный момент, в результате чего парамагнетик намагничивается по полю. Таким образом, процесс намагничивания парамагне- тиков во многом аналогичен тому, как поляризуется диэлект- рик, состоящий из полярных молекул.

Кривая намагничивания парамагнетика (рис 1.13, кр.2) свидетельствует о явлении насыщения, которое связано с ориентационным упорядочением магнитных моментов атомов вещества. Тепловое движение молекул препятствует этому процессу, поэтому в не очень сильных магнитных полях восприимчивость парамагнетика оказывается обратно пропор- циональной температуре

, (1.65)

где С – константа парамагнетика. Это соотношение носит название закона Кюри.

Парамагнетиками являются щелочные и щелочно- - земельные металлы, редкоземельные элементы, алюминий, платина, кислород, окись азота и другие вещества.

К ферромагнетикам относят вещества, которые обладают спонтанной (самопроизвольной) намагничено- стью. Типичные представители ферромагнетиков – это железо, кобальт, никель и их сплавы.

Характерной особенностью ферромагнетиков является нелинейная зависимость J(H) и B(H). Уже при небольших значениях H намагниченность достигает насыщения J_нас (рис.1.14), тогда как зависимость B(H) продолжает расти с увеличением H по линейному закону (рис.1.15), согласно уравнению

B = m₀H + m₀J_нас.

Рис.1.13 Рис.1.14 Рис. 1.15

Ввиду нелинейной зависимости B(H) магнитная проницаемость ферромагнетика также является функцией H (рис.1.16). Вначале она быстро растет с увеличением H, достигает максимума, а затем убывает, стремясь к единице в очень сильных намагничивающих полях.

Второй отличительной особенностью ферромагнетиков является гистерезис намагничивания. При медленном циклировании магнитного поля получается петля гистере- зиса, внутри которой расположена основная кривая намагни- чивания (рис.1.17). Величина B_ост называется остаточной индукцией, а H_к – коэрцитивной силой, представляющей собой напряженность размагничивающего поля, при котором остаточная индукция обращается в ноль. Площадь петли гистерезиса пропорциональна количеству теплоты, выделяю- щейся в единице объема ферромагнетика за цикл перемагни- чивания.

Рис.1.16

Рис.1.17

В зависимости от значения коэрцитивной силы различают магнитомягкие и магнитотвердые ферро- магнетики. Первые отличаются малым значением H_к и малыми потерями энергии при перемагничивании. Эти материалы используются для изготовления сердечников трансформаторов. Магнитотвердые материалы, характеризую- щиеся широкой петлей гистерезиса (H_к – велико), используются для изготовления постоянных магнитов.

Ответственными за магнитные свойства ферромагнетиков являются нескомпенсированные спиновые магнитные момен- ты электронов, взаимодействие которых приводит к возникно- вению областей спонтанного намагничивания, называемых доменами. Линейные размеры доменов порядка см. В пределах каждого домена ферромагнетик намагничен до насыщения и обладает определенным магнитным моментом. Направления этих моментов различны, так что в отсутствие внешнего поля суммарный момент ферромагнетика может быть равен нулю.

При постепенном увеличении напряженности внешнего магнитного поля происходит рост благоприятно ориенти- рованных доменов, т. е. тех доменов, моменты которых составляют с небольшой угол. На начальной стадии намагничивания этот процесс носит плавный и обратимый характер. В дальнейшем, из-за наличия в образцах различных дефектов, мешающих плавному смещению доменных границ, наблюдаются скачкообразные изменения J (эффект Баркгаузена). Наконец, в области близкой к насыщению, наблюдается поворот магнитных доменов в направлении поля. Последние процессы являются необратимыми, что и служит причиной гистерезиса.

Для каждого ферромагнетика имеется определенная температура T_с, при которой области спонтанного намагничи- вания распадаются, и вещество утрачивает ферромагнитные свойства. Эта температура называется точкой Кюри.

При температуре выше точки Кюри ферромагнетик становится обычным парамагнетиком, магнитная восприим- чивость которого подчиняется закону Кюри-Вейса

. (1.66)

При охлаждении ферромагнетика ниже точки Кюри его магнитные свойства восстанавливаются.