Разложение полиномов на множители

Основная теорема алгебры.Всякий полином (многочлен)

разлагается на линейные и неприводимые квадратные множители в степенях, равных кратности корней.

Теорема Безу.Если число является корнем полинома кратности , то полином разлагается на множители:

.

Следствие.Если уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то эти корни являются делителями свободного члена .

Пример 13.Разложить на множители многочлен .

Решение:

.

Ответ: .

Пример 14.Решить уравнение x⁴ + 2x³ – 2x² – 6x + 5 = 0 .

Решение: Пользуясь следствием из теоремы Безу, целые корни ищем среди делителей числа 5. Корень подходит. Тогда из теоремы Безу следует, что многочлен делится на . Разложим на множители наш многочлен:

Отсюда видно, что уравнение имеет единственный корень .

Ответ: .

Пример 15. Найдите наибольшее значение параметра а , при котором уравнение с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из которых равен -2 .

Решение: так как х = -2 – корень уравнения, то , откуда находим . Поделив далее уравнение на (х + 2) , получим: . Последнее уравнение с целыми коэффициентами должно иметь два различных решения, ни одно из которых не совпадает с -2 . Так что имеем следующую систему условий:

Отсюда получаем, что наибольшим значением параметра а , при котором уравнение с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из которых равен -2 , будет .

Ответ: 7

Решение уравнений в целых числах.

Пример 16.Решить в целых числах уравнение

Решение: перепишем исходное уравнение в виде

Так как и – целые числа, то возможны только следующие четыре случая:

1) 2)

3) 4)

Ответ: (1, 2) , (-1, -2) , (3, 2) и (-3, 2)

Пример 17.Решить в целых числах уравнение |m – 1| + |9 – 3n| = 7

Решение: Перепишем исходное уравнение в виде: .

Так как и – целые неотрицательные числа, то возможны только следующие три случая:

1) 2)

3)

Ответ: (0 , 1) , (0 , 5) , (2 , 1) , (2 , 5) , (-3 , 2) , (-3 , 4) , (5 , 2) , (5 , 4) , (-6 , 3) , (8 , 3)

Пример 18. (Задание С6 ЕГЭ 2010). Решите в целых числах

уравнение

Решение.Преобразуем уравнение к виду: . Отсюда следует, что m делится на т, т.е. . Если n четное, , то . Это уравнение не имеет решений, т.к. при делении на 4 левая часть имеет остаток (-1), а правая имеет остаток 1. Таким образом, n нечетное, т.е. . Тогда

= . Среди делителей правой части только 2 последовательных числа: 4 и 5 или -5 и -4, т.е. или .

Ответ: или .

Разные задачи

Пример 19.Сколькими нулями оканчивается число (100!) ?

Решение: . Заметим, что так как , то, если в разложении числа на простые множители окажется m «двоек» и n «пятёрок», то это число оканчивается k = min {m , n} «нулями». Очевидно, что в разложении на простые сомножители числа «пятёрок» меньше, чем «двоек». Поэтому здесь k = n. Подсчитаем число «пятёрок». Из первых 100 натуральных чисел ровно 100 : 5 = 20 чисел делится на 5 , а из этих 100 чисел ровно 20 : 5 = 4 числа делятся на 5² , поэтому k = n = 25 + 4 = 29 .

Ответ: 29

Пример 20.При каких значениях параметра а уравнение

ax² + 3x + 2a² = 0 имеет только целые корни.

Решение: Согласно теореме Виета, если у квадратного уравнения есть корни, то , т.е. если . Если корни целые, то целыми будут и их сумма и их произведение, т.е. ,

. Тогда . Подставляя эти значения в дискриминант, выбираем подходящие: . Кроме этого нужно рассмотреть случай, когда уравнение не является квадратным, т.е. при . В этом случае – целый корень.

Ответ: а Î { -3 , -3/2 , 0 , 1 }

Пример 21.Найти все такие натуральные числа n , для которых из трёх следующих утверждений два будут верными, а одно – ложным:

1) n + 41 является квадратом натурального числа,

2) n – 21 делится без остатка на 10 ,

3) n – 48 является квадратом натурального числа.

Решение: Если число n – 21 делится без остатка на 10 , то число оканчивается цифрой 1 , и оба утверждения 1) и 3) ложны, так как квадрат натурального числа не может оканчиваться ни на 2 (как число

n + 41) , ни на 3 (как число n – 48 ). Поэтому утверждение 2) ложно, а утверждения 1) и 3) – верны. Так что n + 41 = m² и n – 48 = k² , где m и k – некоторые натуральные числа. Отсюда получаем, что m²– k² =

= (m – k)(m + k) = 89 . Так как 89 – простое число, то m – k = 1 и m + k = 89 , так что m = 45 , k = 44 и n = 1984 .

Ответ: 1984.

Пример 22.Известно, что p , p+10 , p+14 – простые числа.

Найдите p .

Решение: заметим, что р = 2 не подходит, а р = 3 – подходит. А при любом р > 3 одно из чисел p+10 и p+14 делится на 3 . А именно, если р = 3к +1 , то делится на 3 число р + 14 , а если р = 3к + 2, то делится на 3 число р + 10 .

Ответ: р = 3.

Пример 23.В магазине «Непарная обувь» за два дня продали 2 одинаковых правых сапога, 13 одинаковых левых сапог и один валенок, причём в первый день была выручена та же сумма, что и во второй. Левый сапог дешевле правого и дороже валенка на одну и ту же сумму. Сколько левых и сколько правых сапог продали в один день с валенком?

Решение: Пусть в один день с валенком продано правых и левых сапог. Тогда в другой день было продано и правых и левых сапог соответственно. Если с – цена левого сапога, и он на s дороже валенка, то цена правого сапога равна , а из условия задачи следует, что ,

то есть . Число p может принимать одно из трёх значений: 0 , 1 или 2 . При имеем: , и, кроме того, 0 < s < c . Поэтому . При имеем: , и, кроме того, 0 < s < c . Поэтому таких нет . При имеем: , и, кроме того, 0 < s < c . Поэтому таких нет .

Ответ: 8 левых сапог и ни одного правого.

Пример 24. В магазине «Мойдодыр» в продаже имеются стиральные порошки в пачках трёх сортов: обычный, необычный и превосходный. Сначала количественное соотношение по сортам было 3 : 4 : 6 . В результате продаж и поставок со склада это соотношение изменилось и стало 2 : 5 : 8 . Известно, что число пачек превосходного порошка возросло на 80% , а обычного порошка уменьшилось не более чем на 10 пачек. Сколько всего пачек порошка было в магазине сначала?

Решение: по условию задачи в магазине было 3n пачек обычного, 4n пачек необычного и 6n пачек превосходного порошка, так что всего было 13n пачек порошка, причём n – натуральное число. А стало в магазине 2m пачек обычного, 5m пачек необычного и 8m пачек превосходного порошка, причём m – также натуральное число. Для нахождения n и m имеем следующую систему условий:

Решая эту систему условий, получим:

Отсюда находим к = 1 , n = 20 и 13n = 260 .

Ответ: 260.

Пример 25.(Задание С6 ЕГЭ 2010). Все обыкновенные правильные несократимые дроби, числители и знаменатели которых двузначные числа, упорядочили по возрас­танию. Между какими двумя последовательно расположенными дробями находится число ?

Решение.Найдем такие дроби, что . Тогда . Чтобы дроби были наиболее близкими, нужно, чтобы знаменатели были как можно больше и при этом выполнялись равенства (наиболее близкие целые числа, удовлетворяющие нужным неравенствам. Перебором находим:

Отсюда следует, что , а . Из неравенств находим, что .

Ответ: .

Пример 26.(Задание С6 ЕГЭ 2010). При каком наибольшем n найдется n семизначных чисел, являю­щихся последовательными членами одной геометрической про­грессии?

Решение: . , . Отсюда имеем: .

Таким образом, . Чтобы членов прогрессии было как можно больше, ее знаменатель должен быть рациональным числом (т.к. все ее члены – целые числа), большим 1 и самым близким к 1, а именно Требуется найти такое p, при котором неравенство выполняется для наибольшего n. Для каждого n надо выяснить, какие степени соседних чисел обе будут семизначными числами. Путем несложных вычислений находим, что p = 4, n =11.

Ответ:11.

Пример 27. (Задание С6 ЕГЭ 2010). На числовой оси отмечены все точки с целыми координатами. Раз­решается прыгать на 1 и на 4 вправо или влево. Можно ли за 2010 таких прыжков попасть из точки 1 в точку 2, ни разу не по­падая в точки с координатами, кратными 4?

Решение: Будем считать шаг вправо на 1 положительным, а влево – отрицательным. Положим, мы сделали p шагов на 1 клеточку вправо, l шагов на 1 клеточку влево, m шагов на 4 клеточки вправо и n шагов на 4 клеточки влево и из точки 1 попали в точку 2 за 2010 шагов. Тогда имеем систему А: . При этом числа 1+p и 1+p – l не должны делиться на 4, а их сумма при делении на 4 должна давать в остатке 2 (что следует из первого уравнения). Это возможно в следующих случаях: 1) , 2) , 3) , 4) . Подставим в систему А по очереди эти 4 случая.

1) Складывая и вычитая уравнения

системы, получим систему: . Теперь не трудно подобрать какие-нибудь значения параметров, удовлетворяющих системе. Например, тогда а тогда

Ответ: можно.

Пример 28. Найти все целые корни уравнения

Решение:

Последнему условию делимости удовлетворяют только k = -2 , 0 или -10. Но всем условиям удовлетворяют только k = -2 , или -10 . В первом случае х = -7, а во втором х = -31 .

Ответ: x Î { -7 , -31 }