Раздел 10. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. 2. Встретились несколько человек и стали здороваться друг с другом

1. Вычислите:

а. ;

б. ;

в. .

2. Встретились несколько человек и стали здороваться друг с другом. Известно, что рукопожатий было от 60 до 70. Сколько человек встретились, если известно, что:

а. каждый здоровался с каждым;

б. только один человек не здоровался ни с кем;

в. только двое не поздоровались между собой;

г. четверо поздоровались только между собой.

3. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?

4. «Вороне где-то Бог послал кусочек брынзы, колбасы, сухарика и шоколада. На ель Ворона взгромоздясь, позавтракать совсем уж было собралась, да призадумалась»:

а. если есть кусочки по очереди, то из скольких вариантов придётся
выбирать;

б. сколько получится «бутербродов» из двух кусочков (бутербродом
считать набор из двух кусочков);

в. если съесть сразу три кусочка, а оставшийся спрятать, то из скольких
вариантов придётся выбирать;

г. сколько получится вариантов, если какой-то кусочек всё-таки бросить Лисе, а потом ответить на вопрос пункта a.

Раздел 11. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.

1. Девять учащихся получили за зачет оценки: 3, 1, 2, 2, 4, 4, 5, 3, 4.

а. отразите данные на круговой и на столбчатой диаграмме;

б. найдите размах, моду и медиану ряда оценок. Найдите среднее арифметическое полученных оценок;

в. последовательно выписываются фамилии указанных девяти учащихся. Сколько есть способов составить список? Какова вероятность того, что при том, что список составляется случайным образом, первым в нем окажется тот, кто лучше всех написал эту контрольную?

г. определите вероятность того, что случайно выбранный учащийся этой группы получил тройку;

д. Перед контрольной каждый из учащихся наобум написал какую-то цифру от «1» до «5». Определите вероятность того, что каждый из них угадал полученную впоследствии оценку.

2. Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что оно:

а. оканчивается нулем;

б. состоит из одинаковых цифр;

в. больше 72 и меньше 87;

г. не является кубом целого числа.

3. Найдите вероятность того, что при бросании двух кубиков в сумме выпадет больше десяти очков.

4. На каждой грани правильного тетраэдра написана одна из цифр 1, 2, 3, 4 (цифры не повторяются). Тетраэдр бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза он упадет на грань с одной и той же цифрой.

Раздел 12. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

1. Равносильны ли уравнения:

а. и ;

б. и ;

в. и .

2. Решите уравнения:

а. ;

б. ;

в. ;

г. ;

д. ;

е. ;

ж. ;

з. ;

и. .

3. Решите неравенства:

а. ;

б. ;

в. ;

г. ;

д. ;

е. ;

ж. ;

з. .

4. Решите системы уравнений:

а. (методом алгебраического сложения)

б. (графическим методом)

в. (методом подстановки)

Вопросы для подготовки к экзамену

1. Прямые, плоскости и углы в пространстве

- взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве;

- основные теоремы стереометрии (признаки параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, теорема о трех перпендикулярах);

- угол между прямой и плоскостью;

- угол между плоскостями, линейный угол двугранного угла.

2. Основы тригонометрии

- радианная мера угла;

- определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа;

- формулы приведения;

- основное тригонометрическое тождество, формулы сложения, двойного и половинного аргумента, понижения степени;

- определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа;

- решение простейших тригонометрических уравнений;

- тригонометрические функции, их свойства и графики.

3. Элементы комбинаторики

- комбинаторное правило умножения;

- формулы для подсчета числа перестановок, размещений и сочетаний.

4. Корни, степени, логарифмы

- степень с натуральным, целым и рациональным показателем, корень
n-ой степени;

- логарифм числа и его свойства;

- свойства и графики показательной, логарифмической и степенной функции;

- способы решения иррациональных, показательных и логарифмических уравнений, показательных и логарифмических неравенств.

5. Функции, их свойства и графики

- определение функции;

- область определения и множество значений;

- нули и промежутки знакопостоянства;

- четность, периодичность и монотонность;

- стационарные точки, точки экстремума и экстремумы;

- наибольшее и наименьшее значения;

- вертикальные и горизонтальные асимптоты.

6. Начала математического анализа

- понятие производной функции;

- правила дифференцирования функций;

- таблица производных;

- уравнение касательной к графику функции;

- понятие второй производной;

- точки перегиба и промежутки выпуклости;

- применение производной к исследованию функций (по схеме);

- наибольшее, наименьшее значение функции на отрезке;

- понятие первообразной функции;

- таблица первообразных;

- понятие определенного интеграла;

- вычисление площадей криволинейных трапеций (формула Ньютона-Лейбница).

7. Многогранники, поверхности и тела вращения

- изображение пространственных фигур на плоскости (призма, пирамида, цилиндр, конус, шар);

- вычисление объемов и площадей поверхностей пространственных фигур;

- правильные многогранники.

8. Элементы теории вероятностей и математической статистики

- основные понятия статистики (мода, медиана, размах, среднее арифметическое, частота);

- классическое определение вероятности;

- совместные, несовместные, зависимые, независимые события и их вероятности.

Демонстрационный вариант для подготовки к экзамену.

1. Найдите значение выражения .

2. Упростите выражение .

3. Решите неравенство .

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .

5. Упростите выражение .

6. Найдите производную функции .

7. Решите уравнение .

8. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке .

9. Вычислите (7+5i)(2-3i).

10. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

11. Решите уравнение .

12. В четырехугольной пирамиде MABCD основание – квадрат ABCD. Ребро MA перпендикулярно плоскости основания. AB= , MA=1. Найдите объем пирамиды и угол наклона ребра MB к плоскости основания.

13. В треугольной пирамиде MABC основание – треугольник ABC, угол A= . Ребро MA перпендикулярно плоскости основания. MA=1, AB=AC=1. Найдите объем пирамиды и угол наклона ребра MB к плоскости основания.

14. Решите уравнение .

15. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр:

а. 1,2,3,4 без повторения цифр?

б. 0,2,4,6 без повторения цифр?

16. Антонио дважды бросает монету. Найдите вероятность того, что при первом броске у него выпал орел.

[1] Издания, отмеченные значком *, имеются в фондах библиотеки РГУП