Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии
В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое значение как точечный прогноз
при
, т. е. путем подстановки в уравнение регрессии
соответствующего значения х. Однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки
, т. е.
, и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения
.
Чтобы понять, как строится формула для определения величин стандартной ошибки ,обратимся к уравнению линейной регрессии:
. Подставим в это уравнение выражение параметра
:
,
тогда уравнение регрессии примет вид:
.
Отсюда вытекает, что стандартная ошибка зависит от ошибки
и ошибки коэффициента регрессии
, т.е.
Из теории выборки известно, что . Используя в качестве оценки
остаточную дисперсию на одну степень свободы
,получим формулу расчета ошибки среднего значения переменной
:
= 3,34. |
Ошибка коэффициента регрессии, как уже было показано, определяется формулой
.
Считая, что прогнозное значение фактора ,получим следующую формулу расчета стандартной ошибки предсказываемого по линии регрессии значения, т. е.
:
Соответственно имеет выражение
Рассмотренная формула стандартной ошибки предсказываемого среднего значения при заданном значении
характеризует ошибку положения линии регрессии. Величина стандартной ошибки
, как видно из формулы, достигает минимума при
и возрастает по мере того, как «удаляется» от
в любом направлении. Иными словами, чем больше разность между
и
, тем больше ошибка
, с которой предсказывается среднее значение
для заданного значения
. Можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если признак-фактор
находится в центре области наблюдений
,и нельзя ожидать хороших результатов прогноза при удалении
от
. Если же значение
оказывается за пределами наблюдаемых значений
, используемых при построении линейной регрессии, то результаты прогноза ухудшаются в зависимости от того, насколько
отклоняется от области наблюдаемых значений фактора
.
На графике доверительные границы для
представляют собой гиперболы, расположенные по обе стороны от линии регрессии.
Однако ошибка предсказываемого индивидуального значения у должна включать не только стандартную ошибку , но и случайную ошибку S.
Средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения
составит:
При прогнозировании на основе уравнения регрессии следует помнить, что величина прогноза зависит не только от стандартной ошибки индивидуального значения у, но и от точности прогноза значения фактора . Его величина может задаваться на основе анализа других моделей исходя из конкретной ситуации, а также из анализа динамики данного фактора.
Рассмотренная формула средней ошибки индивидуального значения признака может быть использована также для оценки существенности различия предсказываемого значения исходя из регрессионной модели и выдвинутой гипотезы развития событий.