Находим невырожденное линейное преобразование, приводящее данную квадратичную форму к каноническому виду

X=T.Y

Находим канонический вид данной квадратичной формы

Expand[X.A.X]

Опишем ещё один способ приведения квадратичной формы к каноническому виду, который эффективно реализуется в системе Mathematica.

1. Строим матрицу из собственных векторов матрицы данной квадратичной формы.

2. Нормируем строки этой матрицы.

3. Находим для полученной матрицы транспонированную матрицу. Эта матрица и будет задавать невырожденное линейное преобразование переменных исходной квадратичной формы, приводящее её к каноническому виду.

Рассмотрим следующий

Пример. Привести к каноническому виду следующую квадратичную форму

Решение.

Вводим матрицу квадратичной формы

Находим собственные векторы матрицы A и нормируем их

H=Eigenvectors[A]

{{-1,-1,1,1},{1,1,1,1},{1,-1,-1,1},{-1,1,-1,1}}

Do[H[[i]]=H[[i]]/Norm[H[[i]]],{i,1,4}];

Находим невырожденное преобразование переменных, приводящее квадратичную форму к каноническому виду

T=Transpose[H];

X=H.Y

Находим канонический вид данной квадратичной формы

g=Expand[X.A.X]

Находим собственные числа матрицы квадратичной формы.

Eigenvalues[A]

{-5,5,-3,3}

Мы видим, что при данном способе приведения квадратичной формы к каноническому виду, коэффициенты полученной квадратичной формы совпадают с собственными числами матрицы A.

Алгебра многочленов

Задание многочлена. Действия с многочленами в системе Mathematica

Как известно, многочленом от переменной называется выражение

вида

где натуральное число, - элементы некоторого числового поля, называемые коэффициентами этого многочлена. Выражения называются членами многочлена, - свободным членом.

Многочлен называется нулевым, если все его коэффициенты равны нулю.

Если , то называют степенью многочлена, а - старшим членом многочлена.

В системе Mathematica многочлен можно задавать, например, таким способом

Вычислить значение этого многочлена при конкретном значении переменной можно так

f[11]

Если мы хотим определить произвольный многочлен четвёртой степени, не указывая конкретных значений коэффициентов, то это можно сделать так

Многочлены можно складывать, вычитать и умножать по обычным правилам раскрытия скобок и приведения подобных членов. Продемонстрируем выполнение указанных действий над многочленами в системе Mathematica.

Система Mathematica позволяет производить указанные действия над многочленами при условии, что их коэффициенты принадлежат тому или иному классу вычетов по заданному модулю. Рассмотрим , например, вычисление произведения двух многочленов в поле классов вычетов по модулю 2.

Expand[f[x]*g[x],Modulus®2]

Пусть и - два многочлена и многочлен не является нулевым. Тогда можно всегда подобрать такую пару многочленов и , частное и остаток, что

,

причём или нулевой многочлен или многочлен, степень которого меньше степени многочлена . Если многочлен является нулевым, то говорят, что многочлен делится на многочлен .

В системе Mathematica частное от деления многочлена на и остаток находятся следующим образом

f[x_]=

g[x_]=

q[x_]=PolynomialQuotient[f[x],g[x],x]

r[x_]=PolynomialRemainder[f[x],g[x],x]

Рассмотрим следующие примеры

Пример 2.1. Разделить с остатком многочлен на многочлен

Решение.

r[x_]=PolynomialRemainder[f[x],g[x],x]

-5+25 x

q[x_]=PolynomialQuotient[f[x],g[x],x]

Пример 2.2. Найти частное и остаток от деления многочлена на многочлен над полем классов вычетов по модулю 3.

Решение.

r[x_]=PolynomialMod[

PolynomialRemainder[f[x],g[x],x],Modulus®3]

x

q[x_]=PolynomialMod[

PolynomialQuotient[f[x],g[x],x],Modulus®3]

Производим проверку

Expand[g[x]*q[x]+r[x],Modulus®3]