Прямая на плоскости

3.1Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору прямая на плоскости - student2.ru (3, -1).

Решение.

Воспользуемся общим уравнением прямой прямая на плоскости - student2.ru . Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А.

Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1.

Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

3.2 Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см2.

Решение.

Уравнение прямой имеет вид: прямая на плоскости - student2.ru , a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 не подходит по условию задачи.

Итого: прямая на плоскости - student2.ru или х + у – 4 = 0.

3.3 Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.

Решение.

Уравнение прямой имеет вид: прямая на плоскости - student2.ru , где х1 = у1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

прямая на плоскости - student2.ru

3.4 Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

Решение. Угол между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами прямая на плоскости - student2.ru , прямая на плоскости - student2.ru определяется по формуле: прямая на плоскости - student2.ru .

k1 = -3; k2 = 2 tgj = прямая на плоскости - student2.ru ; j = p/4.

3.5 Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Решение.

Находим уравнение стороны АВ: прямая на плоскости - student2.ru ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0; прямая на плоскости - student2.ru

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k = прямая на плоскости - student2.ru . Тогда y = прямая на плоскости - student2.ru . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: прямая на плоскости - student2.ru откуда b = 17. Итого: прямая на плоскости - student2.ru .

Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.

Кривые 2 порядка.

3.6 Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде 2x2 + 2y2 – 8x + 5y – 4 = 0.

Решение. Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к каноническому виду. Для этого выделим полные квадраты:

x2 + y2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x2 – 4x + 4 –4 + y2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16

Отсюда находим О(2; -5/4); R = 11/4.

3.7 Составить уравнение эллипса, если его фокусы F1(0; 0), F2(1; 1), большая ось равна 2.

Решение. Уравнение эллипса имеет вид: прямая на плоскости - student2.ru . Расстояние между фокусами:

2c = прямая на плоскости - student2.ru , таким образом, a2 – b2 = c2 = ½

по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b = прямая на плоскости - student2.ru

Итого: прямая на плоскости - student2.ru .

3.8 Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением прямая на плоскости - student2.ru

Решение. Находим фокусное расстояние c2 = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы: c2 = a2 + b2 = 16, e = c/a = 2; c = 2a; c2 = 4a2; a2 = 4;

b2 = 16 – 4 = 12.

Итого: прямая на плоскости - student2.ru - искомое уравнение гиперболы.

3.9 На параболе у2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

Решение. Из уравнения параболы прямая на плоскости - student2.ru получаем, что р = 4.

r = x + p/2 = 4; следовательно:

x = 2; y2 = 16; y = ±4. Искомые точки: M1(2; 4), M2(2; -4).

3.10. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка

прямая на плоскости - student2.ru .

Решение.

Матрица квадратичной формы прямая на плоскости - student2.ru имеет вид: прямая на плоскости - student2.ru .

Найдем ее собственные числа и собственные векторы. Составим характеристическое уравнение: прямая на плоскости - student2.ru , прямая на плоскости - student2.ru .

Для координат собственного вектора прямая на плоскости - student2.ru , соответствующего λ1, получим с учетом нормировки: прямая на плоскости - student2.ru , откуда прямая на плоскости - student2.ru = прямая на плоскости - student2.ru . Аналогично найдем прямая на плоскости - student2.ru прямая на плоскости - student2.ru , прямая на плоскости - student2.ru = прямая на плоскости - student2.ru .

Составим матрицу перехода к новому базису, столбцами которой будут координаты собственных векторов: прямая на плоскости - student2.ru .

Тогда прямая на плоскости - student2.ru .

Подставив эти выражения в исходное уравнение, получим его вид в новой системе координат: прямая на плоскости - student2.ru . Заметим, что коэффициентами при x² и y² являются λ1 и λ2.

Преобразуем полученное уравнение:

прямая на плоскости - student2.ru ,

прямая на плоскости - student2.ru .

Зададим параллельный перенос формулами: прямая на плоскости - student2.ru .

Получим уравнение: прямая на плоскости - student2.ru , а после деления на 8: прямая на плоскости - student2.ru - каноническое уравнение гиперболы.

3.11. Определить тип кривой, заданной уравнением прямая на плоскости - student2.ru , ее параметры и сделать рисунок.

Решение.

Сгруппируем переменные: прямая на плоскости - student2.ru .

Дополним выражения, стоящие в скобках, до полного квадрата: прямая на плоскости - student2.ru ,

Получим:

прямая на плоскости - student2.ru

прямая на плоскости - student2.ru

прямая на плоскости - student2.ru

Уравнение прямая на плоскости - student2.ru определяет гиперболу с центром в точке прямая на плоскости - student2.ru и полуосями прямая на плоскости - student2.ru . Оси данной гиперболы будут лежать на прямых прямая на плоскости - student2.ru .

Определим параметр прямая на плоскости - student2.ru :

прямая на плоскости - student2.ru .

Тогда эксцентриситет будет равен: прямая на плоскости - student2.ru .

Асимптотами гиперболы будут прямые прямая на плоскости - student2.ru , или, после очевидных преобразований прямая на плоскости - student2.ru .

Директрисами гиперболы будут прямые прямая на плоскости - student2.ru , или, что то же самое, прямые прямая на плоскости - student2.ru .

прямая на плоскости - student2.ru

3.12. Найти координаты точки М(-4;2) в новой системе координат, полученной поворотом осей на 30° и переносом начала координат в точку А(6;-2).

Решение.

Используем формулы перехода

прямая на плоскости - student2.ru .

У нас

прямая на плоскости - student2.ru .

Решаем систему, находим прямая на плоскости - student2.ru , т.е. прямая на плоскости - student2.ru .


Прямая и плоскость в пространстве.

3.13 Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость

Решение.

прямая на плоскости - student2.ru

Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой:

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

прямая на плоскости - student2.ru

прямая на плоскости - student2.ru

3.14 Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.

Решение. Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости прямая на плоскости - student2.ru (A, B, C). Вектор прямая на плоскости - student2.ru (1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой, имеет вектор нормали прямая на плоскости - student2.ru (1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то

прямая на плоскости - student2.ru

Таким образом, вектор нормали прямая на плоскости - student2.ru (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 11×2 + 7×1 - 2×4 + D = 0; D = -21.

Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.

3.15 Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде:

прямая на плоскости - student2.ru

Решение.

Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией пересечения указанных выше плоскостей, примем z = 0. Тогда:

прямая на плоскости - student2.ru ;

2x – 9x – 7 = 0;

x = -1; y = 3;

Получаем: A(-1; 3; 0).

Направляющий вектор прямой: прямая на плоскости - student2.ru .

Итого: прямая на плоскости - student2.ru

3.16 Даны координаты вершин пирамиды А1(1; 0; 3), A2(2; -1; 3), A3(2; 1; 1), A4(1; 2; 5).

1. Найти длину ребра А1А2.

Решение.

прямая на плоскости - student2.ru

2. Найти угол между ребрами А1А2 и А1А4.

Решение.

прямая на плоскости - student2.ru

3. Найти угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3.

Решение. Сначала найдем вектор нормали прямая на плоскости - student2.ru к грани А1А2А3 как векторное произведение векторов прямая на плоскости - student2.ru и прямая на плоскости - student2.ru .

прямая на плоскости - student2.ru = (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

прямая на плоскости - student2.ru

Найдем угол между вектором нормали и вектором прямая на плоскости - student2.ru .

прямая на плоскости - student2.ru

прямая на плоскости - student2.ru -4 – 4 = -8.

Искомый угол g между вектором и плоскостью будет равен g = 900 - b.

прямая на плоскости - student2.ru

4. Найти уравнение плоскости А1А2А3.

Решение. Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки.

прямая на плоскости - student2.ru

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0.

Наши рекомендации