Самостоятельная работа№3-4

Тема 1.3. Преобразование алгебраических выражений

Самостоятельная работа№3-4 (2 часа)

Цель: научиться применять простейшие формулы и правила алгебраических преобразований.

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Понятие алгебраического выражения. Тождество и тождественное преобразование.

Алгебраическим выражением называется совокупность конечного количества чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных между собой знаками алгебраических действий и знаками последовательности этих действий (скобками).

Алгебраическое выражение, в котором указаны только действия сложения, вычитания, умножения и возведения в степень с натуральным показателем, называют целым рациональным выражением. Если кроме указанных действий входит действие деления, то выражение называют дробно-рациональным.

Целые рациональные и дробно-рациональные выражения вместе называются рациональными. Если входит еще и действие извлечения корня, то такое выражение называют иррациональным.

Числовым значением алгебраического выражения при заданных числовых значениях букв называют тот результат, который получится после замены букв их числовыми значениями и выполнения указанных в выражении действий.

Областью допустимых значений (ОДЗ) алгебраического выражения называют множество всех допустимых совокупностей значений букв, входящих в это выражение.

Действия над степенями

Действия над степенями производятся по следующим правилам:

= ^m-n

= a^mn

^m =

^{m =}

Одночленом называется алгебраическое выражение, в котором числа и буквы связаны только двумя действиями - умножением и возведением в натуральную степень.

Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.

Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами. Одночлен есть частный случай многочлена.

Формулы сокращенного умножения:

а² – b² = (a-b)(a + b) –разность квадратов

(a+b)² =a² +2 ab + b² –квадрат суммы

(a-b)² =a² -2 ab + b²- квадрат разности

a³ – b³ = (a-b)(a² + ab + b²) – разность кубов

a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²) – сумма кубов

(a+b)³ =a³ +3a² b +3a b² +b³ – куб суммы

(a-b)³ =a³ -3a² b +3a b² -b³ – куб разности

ax² + bx + с = 0 a(x – x₁)(x – x₂)

Квадратное уравнение имеет вид + bx + с = 0, а ≠0

Дискриминант: D = - 4ac

Если D > 0, то кв. ур-е имеет два различных корня, которые могут быть вычислены по формулам:

X_1,2 =

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет два равных корня.

Если D < 0, то действительных корней нет.

Теорема Виета. В приведенном квадратном уравнении x² + px + q - 0 сумма корней равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а их произведение – свободному члену:

x₁ + x₂ = - p ; x₁ x₂ = q

Действия с дробями:

Сложение	Вычитание	Умножение	Деление
+ =	- =	· =	: =

Свойства пропорции: = ad = bc

При работе с модулями используют различные свойства модулей:

≥ 0; = ; = ; ² = a²; =

Свойства числовых неравенств:

a≥b b≤a;

a≥b и b≥c a≥c;

Пусть с 0 тогда a≥b aс≥bс

Пусть с 0 тогда a≥b aс≤bс

Пусть a≥b тогда a+с ≥b+с

Пусть a≥b тогда a-с ≥b-с

Примеры решения задач.

1. Упростить выражение: S = при x = , где a≠b, ab 0

Решение. Покажем прежде, что при заданном условии все подкоренные выражения положительны:

X – 1 = -1 = =

Поскольку a - b≠0 , то ; ab 0 по условию.

Следовательно, дробь положительна, т.е. x - 1 ; , а значит и x + 1 ; .

Теперь перейдем к упрощению заданного выражения. Освободимся от иррациональности в знаменателе:

S = = = = x +

Подставляя значение x = = , получим S = + = + = +

По условию ab 0 , значит, = ab, поэтому S =

Рассмотрим оба возможных случая:

1) если , т.е. если , то = и S =

2) если , т.е. если , то = и S =

2. Сократить дробь: .

Решение. Разложим числитель и знаменатель на множители. Корни числителя: x₁ =1; x₂= 4 , поэтому имеем: = (x –x₁)(x –x₂) =(x –1)(x –4) .

Чтобы разложить знаменатель на множители, применим метод группировки:

= (x³ -x)- (4x² -4) = x( )- 4( ) = ( )(x -4) = (x -1)(x +1)(x -4)

Тогда при x≠1; x≠-1; x≠4 будем иметь: = =

3. Пользуясь теоремой Виета, вычислить: + , где x₁ и x₂ - корни уравнения 2x² +6x +1 = 0 .

Решение. Преобразуем исходное выражение в дробь + =

Числитель данного выражения может быть разложен, как сумма кубов двух выражений: = ( )( ). Проведем тождественные преобразования:

( )( )= ( )( - 3 ) = ( )( )² - 3 )

Воспользуемся теоремой Виета. Для начала убедимся, что дискриминант квадратного трехчлена 2x² +6x +1 больше нуля.

Действительно: В = 6² -4·2·1 = 28 . Следовательно, у уравнения 2x² +6x +1 = 0 имеются два действительных корня, и теорема Виета может быть применена.

Таким образом, = -3 и =

Поэтому, имеем: + = = = -45

Решить самостоятельно.

1.Упростите выражение: :

2.Найти значение выражения при x=31, y=21.

3. Упростите выражение: : и вычислите его значение при m =-3 и n=7.

4. Найти значение выражения при x=31, y=21.

5. Докажите тождество
- + = 1

6. Зная, что = 10, найдите значение дроби: а) ; б) ; в) ;

7. При каком значении переменной b выражение 3 + тождественно равно дроби ?

Вопросы для самоконтроля.

1.Формулы сокращённого умножения.

2.Правила действий со степенями.

3.Формулы корней сокращённого умножения.

4.Свойства числовых неравенств.

5.Понятие модуля.

6.Свойства пропорции.