Пределы с неопределенностью вида и метод их решения

Группа следующих пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.

Пример 4

Решить предел Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru
В данном случае получена так называемая неопределенность Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru .

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницуМатематические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материаломГорячие формулы школьного курса математики. Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.

Итак, решаем наш предел
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru
Сначала находим дискриминант:
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru
И квадратный корень из него: Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru .

В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.

! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.

Далее находим корни:
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru

Таким образом:
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru

Всё. Числитель на множители разложен.

Знаменатель. Знаменатель Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru

Очевидно, что можно сократить на Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru :

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru

Разложим числитель на множители.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru

Пример 5

Вычислить предел Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru

Сначала «чистовой» вариант решения

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru
Знаменатель:
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru , Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru

Что важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.

Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.

Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.

! Важно
В ходе решения фрагмент типа Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения - student2.ru , то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.

Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены.

Наши рекомендации