Броуновское движение

Броуновским движением называется хаотическое движение взвешенных в среде небольших макрочастиц, находящихся в термодинамическом равновесии с окружающей средой. Названо это движение по имени английского ботаника Броуна, наблюдавшего и описавшего такое движение на примере хаотического движения частиц гуммигута в воде. Исследованием броуновского движения занимались такие выдающиеся ученые, как П.Ланжевен, М.Смолуховский, А.Эйнштейн. Броуновское движение является проявлением беспорядочного обмена импульсами между взвешенной частицей, размеры которой невелики (характерный размер – доли миллиметра), и молекулами жидкости, находящимися в хаотическом тепловом движении. Броуновское движение частиц происходит во внешнем поле сил, и на каждую частицу действуют динамические силы -сила тяжести и сила Архимеда .

П.Ланжевен обратил внимание на то, что помимо динамических сил на частицу действуют стохастические силы , определяющие ее взаимодействие с окружающей средой. Уравнение движения для броуновской частицы в этом случае имеет вид

. (1)

Рассмотрим движение броуновской частицы в декартовой системе координат .

Уравнение движения для этого случая запишется в виде

. (2)

Динамические силы действуют только вдоль оси z, а по оси x они отсутстуют. Так как сила вязкого трения растет с увеличением скорости, то через некоторое время , и движение вдоль оси z станет равномерным, а уравнение движения частицы вдоль оси x может быть записано в виде

, или

, (3)

В плоскости xy броуновская частица движется беспорядочно и координата x может иметь случайные значения как по модулю, так и по направлению (рис. ___).

Чтобы установить какие-либо закономерности в этом случае, необходимо произвести множество опытов и определить . Ввиду хаотичности движения в плоскости xy и , т.е. производить прямое усреднение членов уравнения Ланжевена нельзя. Усреднять можно только и , которые имеют сугубо положительные значения.

Преобразуем уравнение Ланжевена умножением всех его членов на x^

. (4)

Следуя М.Смолуховскому и А.Эйнштейну выполним следующие преобразования

, (5)
откуда

. (6)

Подставив это выражение в уравнение Ланжевена, получим

. (7)

Усредним x² по большому числу измерений, тогда

. (8)

Проанализируем полученное выражение:

; - это средняя кинетическая энергия броуновской частицы, приходящаяся на одну степень свободы, т.е. , тогда ; , так как и x, и величины стохастические и статистически независимые.

Интересен тот факт, что при усреднении уравнения Ланжевена выпадает как раз та сила, под действием которой происходит хаотическое движение броуновской частицы. Однако влияние этой силы учтено членом уравнения, представляющим результат этого взаимодействия - , т.е. действие стохастических сил на броуновскую частицу в полученном выражении учитывается. В итоге получаем

. (9)

Обозначим , тогда

, откуда , или

Разделив переменные и проинтегрировав, получим

; . (10)

Так как при , то

или

,
а т.к. при , то можно записать

, (11)
где τ – время установления стационарного значения Н.

Если время наблюдения много больше времени установления стационарного значения Н ( » τ), то , или . Разделив переменные и проинтегрировав , с учетом того, что , получим

. (12)

Выражение (12) – это основной, полученный А.Эйнштейном, результат: если t_набл» τ, то среднее квадратичное смещение броуновской частицы по оси x от начального положения пропорционально времени ~ t.

Если такая ситуация реализуется по всем трем направлениям при условии, что , то , где , т.е. среднее значение квадрата расстояния от начального до конечного положения броуновской частицы пропорционально времени наблюдения

. (13)

Если , то имеет место распределение частиц по высоте
. Его можно наблюдать при , но не намного, тогда и .

Наблюдение за броуновскими частицами – это еще один способ экспериментального определения постоянной Больцмана и числа Авогадро: зная T, h и r, фиксируя t и измеряя , можно, используя формулу (13), рассчитать постоянную Больцмана к, а затем зная , что , вычислить и число Авогадро. Эти эксперименты и были проведены в 1908-1911 г. Ж.Перреном.

Таким образом, теория броуновского движения позволила количественно определить константы молекулярного движения: . В этом смысле броуновское движение имеет большое значение, позволяя количественно описать многие явления.