Непосредственное интегрирование

Первообразная и неопределенный интеграл

Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» для самостоятельной работы студентов всех специальностей

очной и заочной форм обучения

Красноярск 2012

Первообразная и неопределенный интеграл: учебно-методическое пособие / ФГАОУ ВПО СФУ Торгово-экономический институт; сост. Н.А. Севостьянова, Е.Р. Червова. – Красноярск, 2012. – 22 с.

Методическое пособие по дисциплине «Математика» по разделу «Первообразная и неопределенный интеграл» составлено в соответствии со стандартом СПО и рабочей программой и предназначено для самостоятельной работы студентов всех специальностей очной и заочной форм обучения. Включает в себя теоретическую часть, практические задания, методику решения типовых задач, тесты для самоконтроля. Данное учебно-методическое пособие можно использовать как для аудиторной, так и для внеаудиторной самостоятельной работы.

ФГАОУ ВПО СФУ

Торгово-экономический институт, 2012

Оглавление

Стр.

1. Первообразная и неопределенный интеграл…………………................ 3

2. Геометрический смысл неопределенного интеграла ………………….. 5

4. Таблица интегралов…………………………………………………….. 8

5. Основные методы интегрирования………………………………………10

5.1 Непосредственное интегрирование…………………………………10

5.2 Метод замены переменной…………………………………………. 11

5.3 Интегрирование по частям…………………………………………. 12

6. Варианты для самостоятельной работы………………………………… 14

7. Образец решения варианта 1…………………………………………….. 17

8. Тесты……………………………………………………………………… 20

9. Библиографический список……………………………………………… 22

1. Первообразная и неопределенный интеграл

Рассмотрим задачу обратную к задаче о нахождении производной. Дана функция f(x). Найти такую функцию F(x), чтобы

F'(x) = f(x) (1)

Например: f(x) = 6х⁵. Найти F(x). Ответ: F(x) = х⁶ + С, где С - const Определение 1: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если выполняется равенство (1).

Возникают два вопроса:

а) вопрос о существовании первообразной для данной функции f(x);

б) вопрос о единственности первообразной.

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, в], то для неё существует первообразная F(x) на [а, в] (без доказательства)

Теорема 2. Если F(x) - первообразная для функции f(x), то F(x) + С, где С - произвольная постоянная, также первообразная для f(х).

Доказательство:

[ F(x) + С]' = F' (х) + С', т. к. С'=0, то F' (x) =f(x),

что и требовалось доказать.

Итак, если функция f(x) имеет хотя бы одну первообразную, то она имеет их бесконечно много. Например, для функции f(x) = 6х⁵ первообразными будут х⁶, х⁶ + 3, х⁶ + 1 и т.д.

Теорема 3. Если для функции f(x) найдена хотя бы одна первообразная F(x), то любая другая первообразная имеет вид F(x) + С.

Доказательство: метод «от противного». Пусть функция f(x) имеет 2 первообразных F(x) и Ф(х). По определению первообразной (1) имеем

F' (x) =f(x) и Ф' (х) =f(x).

Тогда F' (х) - Ф' (х) = 0 или [F (х) - Ф (х)]' = 0. Последнее равенство возможно только в случае F (х)-Ф (х) = С, где С - постоянная.

Отсюда Ф(х) = F (х) + С,

что и требовалось доказать.

Например, для f(x)= 5 х⁶ любая первообразная имеет вид х⁶ + С.

Определение 2. Совокупность всех первообразных для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом от данной функции и обозначается

∫f(x)dx = F(x) + С

Здесь f(х) - подинтегральная функция, f(х)dx - подинтегральное выражение, х- - переменная интегрирования. Например,

Определение 3. Процесс отыскания неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием.

2. Геометрический смысл неопределенного интеграла

Рассмотрим пример

∫xdx = + С - совокупность первообразных для функции f(x) = х.

Графически это семейство парабол:

С = 0

С = 1

С = -2 …

Аналогично, неопределенный интеграл ∫f(x)dx представляет собой семейство кривых у = F(x) + С, каждая из которых может быть

получена путём параллельного переноса другой вдоль оси OY. Эти кривые называются интегральными кривыми. Все кривые данного семейства обладают общим свойством: если провести касательные в точках с одинаковой абсциссой х = х₀, то эти касательные будут параллельны. Действительно, их угловые коэффициенты равны

[F(x) + С]' = F'(x) │ = f(x₀).

3. Свойства неопределенного интеграла

1°. Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции

(3)

Доказательство.

,

что и требовалось доказать.

2°. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению

(4)

Доказательство.

,

что и требовалось доказать.

3°. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции

равен этой функции плюс произвольная постоянная

(5)

Доказательство. Возьмем дифференциалы от левой и правой части равенства (5)

и

Следовательно, сами выражения могут отличаться только на постоянную, и равенство (5) доказано.

4°. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

(6)

Доказательство. Найдем производные от левой и правой части равенства (6).

(∫а f(x)dx)'= a f(x)

(a ∫ f(x)dx)' = a( ∫ f(x)dx)' = a f(x)

Следовательно, сами выражения могут отличаться только константой, и равенство (6) доказано.

5°. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких интегральных функции равен алгебраической сумме их интегралов.

(7)

Доказательство. Найдем производные от обеих частей данного равенства

Таким образом, и являются

первообразными одной и той же функции f₁ (х)+f₂(х), но тогда они отличаются друг от друга на некоторую постоянную, т. е. любая функция, стоящая в левой части (7) отличается от функции в правой части на константу и равенство (7) доказано.

6°. Инвариантность формул интегрирования

Теорема. Пусть ∫f(x)dx = F(x) + С и и = φ(х) - любая функция, имеющая непрерывную производную. Тогда

∫f(u)du = F(u) + С (8)

Доказательство. Имеем F'(x) =f(x). Возьмём сложную функцию

F(u) =F(φ(x)). В силу теоремы об инвариантности дифференциала 1-го порядка имеем

dF(u) = F'(и) du = f(u)du

Отсюда

∫dF(u) = F'(u)du = ∫f(u)du = F(u) + С,

что и требовалось доказать.

Например:

4. Таблица интегралов

Таблица интегралов получается из таблицы производных. Каждая из формул легко проверяется дифференцированием.

1. 8.

2. 9.

3. 10.

4. 11.

5.

12.

6.

7. 13.

Докажем, например, формулу 8

Для этого возьмем производную от правой части и сравним результат с подинтегральной функцией

,

что и требовалось доказать.

Аналогично докажем формулу 11:

Замечание: Если операция дифференцирования элементарных функций снова приводит к элементарной функции, то операция интегрирования уже может привести к неэлементарным функциям.

Например:

- интеграл Пуассона,

- интегралы Френеля

- интегральный логарифм,

- интегральный косинус,

- интегральный синус

Такие интегралы представимы в виде суммы степенного ряда.

На­пример:

5. Основные методы интегрирования

Искусство интегрирования состоит в умении отыскать такие тождественные преобразования подинтегрального выражения, которые сводили бы интеграл к табличному.

Непосредственное интегрирование

Непосредственное применение табличных интегралов с использованием основных свойств неопределённых интегралов.

Примеры:

1.

Проверка:

2.

Проверка:

3.

Проверка:

4.

Проверка: