Работа внешних сил над электроном – работа сил поля равна
где j1 – потенциал поля электрона в той точке, где другой электрон обладал кинетической энергией
Если расстояние до указанных точек r и R, то для потенциалов поля в этих точках получим
В нашем случае R®µ, то j1®0.
С учетом этих выражений для работы сил поля будем иметь
(2)
Подставим (2) в (1), получаем с учетом того, что u2=0:
Вычисления:
Ответ: два электрона, летящие с относительной скоростью u=106 м/с могут сблизиться до расстояния
Задача 11
Два шарика с зарядами q1=6,6 нКл и q2=13,3 нКл находятся на расстоянии r1=40 см. Какую работу нужно совершить, чтобы сблизить их до расстояния r2=25 см?
Дано: ![]() | Решение: Первый способ Для уменьшения расстояния между зарядами нужно совершить работу А против сил поля А = –А¢, где А¢ – работа сил электростатического поля заряда q1 при перемещении заряда q2 из точки 1 в точку 2 (заряд q1 при этом остается неподвижным). Электростатическое поле потенциально, поэтому его работа равна убыли |
А – ? | потенциальной энергии заряда q2: |
где потенциальная энергия заряда q2 в точках 1 и 2 соответственно.
Следовательно,
где j2, и j1 – потенциалы электростатического поля заряда в точках 2 и 1 соответственно. Учитывая, что
получим
Второй способ
Как и в предыдущем случае, считаем, что заряд q1 неподвижен, а заряд q2 приближаем к нему.
При этом будет совершаться работа А против сил поля:
А=–А¢,
где А¢ – работа сил поля.
Так как кулоновская сила изменяется с расстоянием, то
Вычисления:
Ответ: чтобы шарики сблизить до расстояния r2=25 см, надо совершить работу А=
Задача 12
Какая работа А совершается при перенесении точечного заряда q=20 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии 1 см от поверхности шара радиусом 1 см с поверхностной плотностью заряда s =10-5 Кл/м2?
Дано: ![]() | Решение: Если заряд сосредоточен в тонком поверхностном слое тела, несущего заряд, то распределение заряда в пространстве можно охарактеризовать с помощью поверхностной плотности (при s=const) ![]() |
А – ? | qш – заряд, сосредоточенный на ней. |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
|
Площадь поверхности шара определяется формулой
S=4pR2.
Отсюда
Потенциал на расстоянии R+r от центра шара
При переносе заряда q из точки с потенциалом r в бесконечность работа электрических сил
Такую же работу необходимо совершить против электрических сил при переносе заряда q из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии r от поверхности шара.
Вычисления:
Ответ: работа электрических сил при переносе точечного заряда q из бесконечности в данную точку равна 1,13×10-4 Дж.
Задача 13
На расстоянии r1=4 см от бесконечно длинной заряженной нити находится точечный заряд q=0,66 нКл. Под действием поля заряд приближается к нити на расстояние r2=2 см, при этом совершается работа А=50 эрг. Найти линейную плотность заряда на нити.
Дано: q = 0,66×10-9 Кл r1 = 0,04 м r2 = 0,02 м А = 5×10-6 Дж e = 1 p = 3,14 e0 = 8,85×10-12 Ф/м | Решение: Работа, совершаемая силами поля бесконечно длинной заряженной нити, равна ![]() |
![]() | ![]() |
![]()
|
Напряженность поля, образованного заряженной бесконечно длинной нитью
(2)
где а – расстояние до нити.
Подставим выражение (2) в (1), получаем
Из полученной формулы выражаем t
Вычисления:
Ответ: линейная плотность заряда нити равна
Задача 14
Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора U=90В. Площадь каждой пластины S=60 см2 и заряд q=1нКл. На каком расстоянии друг от друга находятся пластины?
Дано: U = 90 В S = 60×10-4 м2 Q = 10-9 Кл e = 1 e0 = 8,85×10-12 Ф/м | Решение: Внутри конденсатора имеется однородное электрическое поле с напряженностью ![]() |
d – ? | Если заряд сосредоточен в тонком |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
поверхностном слое тела, несущего заряд, то распределение заряда в пространстве можно охарактеризовать с помощью поверхностной плотности
при s=const. (2)
Используем то, что напряженность поля, образованного разноименно заряженными параллельными бесконечными плоскостями (поле плоского конденсатора)
(3)
Подставим (3) в (2), получаем
(4)
Так как формулы (1) и (4) являются двумя способами выражения одной и той же величины, то можно приравнять их
Вычисления:
Ответ: расстояние между пластинами конденсатора d=4,8 мм.
Задача 15
В плоском горизонтально расположенном конденсаторе, расстояние между пластинами которого d=1 см, находится заряженная капелька массой m=5×10-11 г. При отсутствии электрического поля капелька вследствие сопротивления воздуха падает с некоторой постоянной скоростью. Если к пластинам конденсатора приложить разность потенциалов U=600 В, то капелька падает вдвое медленнее. Найти заряд капельки.
Дано: d = 0,01 м m = 5×10-14 кг U = 600 В n1= 2n2 g = 9,8 м/с | Решение: Рассмотрим процесс падения капли в воздухе. На капельку действуют две силы: сила тяжести ![]() ![]() |
q – ? | тальное направление равна нулю, т. к. а=0. |
![]()
|
Найдем проекции векторов сил на ось Оу:
Fсопр=mg. (1)
Используя формулу Стокса, выразим Fсопр:
(2)
Подставив (2) в (1), получаем
(3)
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
+qn |
Рассмотрим процесс падения капли в однородном электрическом поле плоского конденсатора.
На капельку действуют три силы: сила тяжести , сила сопротивления
и сила электрического взаимодействия
При движении капли с постоянной скоростью сумма проекций на вертикальное и горизонтальное направления равны нулю, т. к. а=0.
Спроецируем векторы сил на ось Оу:
Fсопр=mg–Fэл. (4)
Используя формулу Стокса, выразим Fсопр
По определению
Fэл=Eq.
Подставим полученные формулы в (4), получаем
(5)
Почленно разделив уравнения (3) и (5), получаем
Отсюда выражаем заряд капли
Внутри конденсатора имеется однородное электрическое поле с напряженностью
Тогда
Вычисления:
Ответ: заряд капельки q=4,1×10-18 Кл.
Задача 16
Между двумя вертикальными пластинами на одинаковом расстоянии от них падает пылинка. Вследствие сопротивления воздуха скорость падения пылинки постоянна и равна v=2 см/с. Через какое время после подачи на пластины разности потенциалов U=3 кВ пылинка достигнет одной из пластин? Какое расстояние l по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину? Расстояние между пластинами d=2 см, масса пылинки m=2×10-9 г, ее заряд q=6,5×10-17 Кл.
Дано: ![]() | Решение: а) В отсутствии электрического поля на пылинку действуют две силы: сила тяжести ![]() ![]() |
t – ? l – ? | ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Найдем проекции векторов сил на ось Оу:
Fсопр=mg. (1)
Используя формулу Стокса, выразим Fсопр:
(2)
Подставив (2) в (1), получаем
(3)
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
б) Рассмотрим силы, действующие на пылинку в электрическом поле заряженного конденсатора. При наличии поля на пылинку действует еще и горизонтальная сила F=Eq. Под действием этой силы пылинка получит ускорение, но вследствие сопротивления воздуха в горизонтальном направлении также установится движение с некоторой постоянной скоростью v2, причем
(4)
Разделим почленно выражения (4) и (3), получаем
(5)
Напряженность электрического поля в плоском конденсаторе
(6)
Подставляя (5) в (4) получаем
Пылинка пролетает расстояние за время t со скоростью v2, т. е.
Отсюда найдем время t
Расстояние l пылинка пролетит со скоростью v1 за время t, т. е.
L = v1t.
Вычисления:
l=2×10-2×1 = 2(см).
Ответ: через 1 с после подачи на пластины разности потенциалов U=3000 В пылинка достигнет одной из пластин. За это время она пролетит по вертикали 2 см.
Задача 17
Между двумя вертикальными пластинами, находящимися на расстоянии 1 см друг от друга, на нити висит заряженный шарик массой 0,1 г. После того, как на пластины была подана разность потенциалов 1000 В, нить с шариком отклонилась на угол 10°. Найти заряд шарика.
Дано: ![]() | Решение: На шарик действуют три силы: сила тяжести ![]() ![]() ![]() ![]() |
q – ? | Найдем проекции векторов на оси Ox и Оу |
(1)
(2)
U
х
+q -q y |
Разделим почленно уравнение (1) на (2), получаем
(3)
По определению
И, учитывая то, что внутри конденсатора имеется однородное электрическое поле с напряженностью
получим из (3)
Вычисления:
Ответ: заряд шарика равен
Задача 18
Электрон с некоторой начальной скоростью v0 влетает в плоский, горизонтально расположенный конденсатор параллельно пластинам на равном расстоянии от них. К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U=300 В, расстояние между пластинами d=2 см, длина конденсатора l=10 см. Какова должна быть предельная начальная скорость электрона v0, чтобы электрон не вылетел из конденсатора. Решить эту же задачу для альфа-частицы.
Дано: U = 300 В d = 0,02 м ![]() | Решение: Электрон в плоском конденсаторе будет двигаться по параболе, подобно горизонтально брошенному телу в поле силы тяжести. Действительно, на электрон в конденсаторе действует постоянная сила F=eE, под действием которой он получит ускорение по второму закону Ньютона ![]() |
![]() | и, пролетая длину l конденсатора за время |
-q ![]() ![]() ![]() |
отклонится на расстояние
т. к. v0 вдоль направления оси Оу была равна нулю.
Чтобы электрон не вылетел из конденсатора, надо, чтобы
Отсюда
внутри конденсатора имеется однородное поле с напряженностью
отсюда
Вычисления:
Ответ: чтобы электрон и альфа-частица не вылетели из конденсатора, их предельная скорость должна быть и
соответственно.
Задача 19
Протон и альфа-частица с одинаковой скоростью влетают в плоский конденсатор параллельно пластинам. Во сколько раз отклонение протона полем конденсатора будет больше отклонения альфа-частицы?
Дано: n1= n2 = n e = 1 ![]() | Решение: Рассмотрим движение частицы в поле заряженного конденсатора. Частица в плоском конденсаторе будет двигаться по параболе. На нее действует постоянная сила ![]() ![]() |
![]() | и пролетая длину l конденсатора за время |
отклонится на расстояние
-q ![]() ![]() ![]() |
Найдем соотношение
вследствие того, что
Ответ: отклонение протона полем плоского конденсатора в два раза больше отклонения альфа-частицы в этом же поле плоского конденсатора.
Задача 20
Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов U=300В при прохождении через незаряженный плоский горизонтально расположенный конденсатор дает светящееся пятно на флуоресцирующем экране, расположенном на расстоянии l1=12 см от конца конденсатора. При зарядке конденсатора пятно на экране смещается на расстояние у=3 см. Расстояние между пластинами конденсатора d=1,4 см, длина конденсатора l=6 см. Найти разность потенциалов U1, приложенную к пластинам конденсатора.
Дано: ![]() | Решение: Движение электрона в однородном поле конденсатора происходит по параболе, и его можно рассматривать как результат двух прямолинейных перемещений: равномерного со скоростью v0 в горизонтальном направлении и |
U1 – ? | равноускоренного (без начальной скорости) в |
вертикальном направлении с ускорением .
Если длина конденсатора l и расстояние между пластинами d, то проекция перемещения электрона за время прохождения поля конденсатора на эти направления равны соответственно:
Отсюда
![]()
y1
+q |
![]() | (*) |
значит
![]() | (1) |
Найдем 0.
Если ускоряющее поле совершает над частицей массой m и зарядом q работу
A=qU,
то частица приобретает кинетическую энергию
Согласно принципу сохранения и превращения энергии,
откуда
![]() | (2) |
Найдем ускорение а.
Сила, сообщающая электрону ускорение , по второму закону Ньютона равна
В задачах этого типа уравнение второго закона необходимо представить в развернутом виде, выразив силу, действующую на заряженную частицу, через характеристики поля.
Поскольку
где Е – напряженность поля между пластинами конденсатора, то
Тогда основное уравнение динамики можно записать в скалярной форме
![]() | (3) |
Подставим (3) и (2) в (1), получаем
Рассмотрим движение электрона вне поля (т.е. найдем у2).
Пусть t2 – время движения электрона от края конденсатора до экрана (т.е. l1). Скорость по оси Ox, которую приобрел электрон на границе двух областей, будет являться игрековой составляющей результирующей скорости с которой двигается электрон, она равна
![]() | (4) |
Воспользуемся принципом независимости движений Галилея:
по оси Ox смещение: x=vx×t2,
по оси Оу смещение: y=vy1×t2,
или
Отсюда
![]() | (5) |
Подставим в (5) выражение (4), (*), (3), (2), получаем:
По условию
т. е.
Вычисления:
Ответ: разность потенциалов, приложенная к пластинам конденсатора равна U=28 В.
Тема 3
Электроемкость
Потенциал уединенного проводника и его заряд связаны соотношением
где С – емкость уединенного проводника.
Емкость плоского конденсатора
где S – площадь каждой пластины конденсатора,
d – расстояние между пластинами.
Емкость сферического конденсатора
где r и R – радиусы внутренней и внешней сфер. В частном случае, когда R=¥,
- емкость уединенного шара.
Емкость цилиндрического конденсатора
где L – высота коаксиальных цилиндров,
r и R – радиусы внутреннего и внешнего цилиндров.
Емкость системы конденсаторов:
при параллельном соединении конденсаторов,
при последовательном соединении конденсаторов.
Энергия уединенного заряженного проводника может быть найдена по одной из следующих формул
В случае плоского конденсатора энергия
где S – площадь каждой пластины конденсатора,
s – поверхностная плотность заряда на пластинах,
U – разность потенциалов между пластинами,
d – расстояние между ними.
Величина
называется объемной плотностью энергии.