Застосування методів векторної алгебри

Ідея застосування векторів при доведенні нерівностей ґрунтується на таких простих геометричних міркуваннях.

Розглянемо два вектори . Очевидно, що виконується нерівність , або в координатному виді

.

Нехай виконується векторна рівність . Переходячи до довжин векторів, отримуємо, що (нерівність трикутника). Оскільки , то з одержаної нерівності випливає, що

.

В обох випадках кількість координат векторів може бути взята довільною і ми отримаємо більш загальні, ніж наведені, співвідношення. Рівність в них досягається при умові колінеарності векторів.

Наведемо приклади.

Задача 3.2.1. Для довільних невід’ємних чисел , таких, що виконується нерівність . Довести.

Доведення. Введемо в розгляд вектори . Оскільки , і , то, використовуючи нерівність , отримуємо

.

Рівність буде виконуватися при умові, коли , тобто при та довільних невід’ємних таких, що .

Задача 3.2.2. Якщо , то . Довести.

Доведення. Розглянемо вектори та . Оскільки , , то, застосувавши до них співвідношення , отримуємо нерівність, яку потрібно довести. Рівність буде виконуватися при умові пропорційності координат векторів, тобто, коли . З даних пропорцій випливає, що .

Задача 3.2.3. Довести, що при виконується нерівність

.

Доведення. Тепер у розгляд доцільно ввести вектори та . Використавши нерівність , отримуємо

,

звідки випливає нерівність, яку ми доводимо. Зауважимо, що дану нерівність ми уже доводили, користуючись синтетичним методом (приклад 1.2.7).

Задача 3.2.4. Довести, що для довільних виконується нерівність

.

Розв’язання. Введемо в розгляд вектори та . Тепер, використовуючи нерівність , отримуємо співвідношення, що доводиться.

Задача 3.2.5. Довести, що для довільних виконується нерівність

.

Доведення. Введемо в розгляд вектори та . Використовуючи нерівність для скалярного добутку у виді , отримуємо потрібне співвідношення.

Задача 3.2.6. Довести, що нерівність виконується при всіх значеннях , для яких визначена її ліва частина.

Доведення. Розглянемо вектори та . Очевидно, що ліва частина нерівності являє собою скалярний добуток цих векторів і не перевищує добутку їх довжин, тобто виконується співвідношення

.

Знак рівності можливий тільки у випадку пропорційності координат векторів, тобто тільки тоді, коли . Оскільки система даних рівнянь несумісна, то нерівність строга.

Задача 3.2.7. Довести, що якщо числа задовольняють умову , то виконується нерівність .

Доведення. Розглянемо вектори та . Оскільки ліва частина нерівності являє собою скалярний добуток цих векторів і не перевищує добутку їх довжин, то виконується співвідношення

.

Знак рівності виконується при .

Задача 3.2.8. Довести, що , якщо .

Доведення. Розглянемо вектори та . Очевидно, що і . Використавши нерівність , отримуємо, що . Рівність буде виконуватися при .

Задача 3.2.9. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Введемо в розгляд вектори та . Тепер оцінимо ліву частину рівняння: . Оскільки рівність виконується тільки при умові колінеарності векторів, то корені потрібно шукати серед розв’язків рівняння . Перетворивши його до виду , отримуємо рівняння з єдиним дійсним коренем . Знайдене значення є коренем заданого рівняння.

Задача 3.2.10. Числа такі, що . Знайти найбільше та найменше значення виразу .

Розв’язання. Очевидно, що для оцінки виразу координати векторів потрібно вибрати так, щоб модуль одного з них дорівнював . Тому введемо в розгляд вектори та . Тепер маємо .

Отже, .

Ті значення змінних, при яких досягаються найбільше та найменше значення можна знайти, використовуючи умову колінеарності векторів та і рівність , тобто розв’язавши систему . Отримуємо два розв’язки , на яких заданий вираз досягає екстремальних значень.

Задача 3.2.11. Довести, що для довільних виконується нерівність .

Доведення. Рівність одиниці модуля вектора може бути підказкою для вибору координат векторів. Отже, нехай , . Тоді дістаємо

.

Знак рівності отримуємо, наприклад, при .

Задача 3.2.12. Довести нерівність , де - кути трикутника.

Доведення. Виберемо на сторонах трикутника одиничні вектори і так, як показано на рисунку 7. Із очевидного співвідношення дістаємо

звідки випливає нерівність, яку ми доводимо. Знак рівності виконується для рівностороннього трикутника.

Задача 3.2.13. Довести, що якщо - кути трикутника, то виконується нерівність .

Доведення. Нехай коло з центром у точці та радіусом описане навколо заданого трикутника (рис. 8). Тоді . Із очевидного співвідношення отримуємо

,

звідки випливає нерівність, яку ми доводимо. Знак рівності виконується для рівностороннього трикутника.

Задача 3.2.14. Довести нерівність .

Доведення. Розглянемо вектори та . Тоді

.

Знову введемо в розгляд нові вектори та . Дістаємо

,

що завершує доведення. Рівність виконується тільки при умові .