Примеры составления передаточных функций и структурных схем САУ

В качестве примера определим передаточные функции для типовых элементов САУ:

1.Генератор постоянного тока (Г). Входной величиной генератора в данном случае является напряжение возбуждения U_тп, выходной - напряжение на его зажимах U_Г. Реакция якоря предполагается скомпенсированной, а скорость вращения якоря постоянная. В этом случае ЭДС генератора пропорциональна магнитному потоку, то есть

, (2.29)

В свою очередь поток является функцией тока возбуждения

, (2.30)

Эта зависимость нелинейна и показана на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3 Структурная схема генератора постоянного тока

В свою очередь ток возбуждения зависит от напряжения возбуждения согласно следующему уравнению:

, (2.31)

где p_В - число витков обмотки возбуждения;

s - коэффициент рассеяния магнитного потока.

Уравнения (2.29¸2.31) в совокупности определяют искомую зависимость U_г от U_тп. Эта зависимость нелинейна из-за нелинейности характеристики намагничивания генератора (2.30). Линеаризовать такую зависимость по вышеизложенной методике можно, если пренебречь гистерезисом.

Тогда переходя к приращениям переменных, получает следующую систему уравнений

, (2.32)

Здесь определяется как тангенс угла наклона касательной к основной кривой намагничивания (рис. 2.3,а).

, (2.33)

где Т_в - постоянная времени цепи возбуждения

,

где - коэффициент передачи генератора по возбуждению.

Следует заметить, что Т_в и k_в зависят от выбранной точки установившегося режима, в которой осуществляется линеаризация.

Если перейти к относительным единицам, уравнение (2.33) примет вид:

, (2.34)

где

При использовании преобразования Лапласа получим следующее выражение для передаточной функции генератора:

, (2.35)

2.Двигатель постоянного тока с независимым возбуждением.

Входными величинами являются напряжение на зажимах якоря U_Г (управляющее воздействие) и момент сопротивления на валу M_c(t) (возмущающее воздействие), выходной величиной - скорость вращения вала w.

При составлении уравнений двигателя примем следующие допущения:

1) Реакция якоря отсутствует;

2) Магнитный поток возбуждения электродвигателя постоянен.

С учетом принятых допущений переходные процессы в электродвигателе описываются следующими дифференциальными уравнениями:

, (2.36)

где U_Г - ЭДС генератора;

I - ток якорной цепи;

R_э - полное активное сопротивление якорной цепи системы Г-Д;

М=С_мФI - вращающий момент двигателя;

J - момент инерции всех движущихся частей, приведенный к валу двигателя;

Е=С_еФw - ЭДС двигателя;

L_э - индуктивность якорной цепи системы Г-Д.

Так как поток двигателя постоянен, то для момента и ЭДС двигателя можно записать:

; , (2.37)
где k_е=С_е×Ф, k_м=С_м Ф.

Введя эти соотношения в уравнение (2.36), получим

, (2.38)

Производя преобразования Лапласа над уравнениями (2.38), получим:

, (2.39)

здесь - электромагнитная постоянная времени якорной цепи системы Г-Д;

- электромеханическая постоянная системы Г-Д.

Учитывая приведенные выше понятия о передаточной функции и структурной схеме, системе уравнений (2.39) можно поставить в соответствие структурную схему электродвигателя постоянного тока, представленную на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4 Структурная схема электродвигателя постоянного тока

Разрешая уравнения (2.39) относительно выходной величины w и управляющего (U_Г) и возмущающего (I_с) воздействий, получим:

, (2.40)

Полагая Iс=0, получим передаточную функцию по управляющему воздействию:

, (2.41)

При U_г =0 получим передаточную функцию по возмущающему воздействию

, (2.42)

3.Тиристорный преобразователь.

При анализе тиристорного преобразователя как объекта управления примем, что он является безинерционным звеном и инерционность его определяется фильтром на входе системы импульсного управления. Правомочность такого допущения рассматривается в курсе «Автоматическое управление электроприводами». С учетом принятого допущения передаточная функция тиристорного возбудителя имеет вид

, (2.43)

где Т_П - суммарная постоянная времени тиристорного преобразователя;

k_П - коэффициент передачи тиристорного преобразователя.

4. Передаточные функции регуляторов и обратных связей (рисунок 2.5).

Для регулятора напряжения (РН) можно записать следующее уравнение:

, (2.44)

где Z₀(p), Z_зн(p), Z_н(p), Z_т(p) - комплексные сопротивления, соответственно, в цепи обратной связи РН, задающего напряжения U_зн, обратной связи по напряжению U_н, обратной связи по току U_т.

, (2.45)

, (2.46)

, (2.47)

, (2.48)

Учитывая (2.44) и (2.45¸2.48) для передаточной функции и регулятора напряжения и обратных связей можно записать следующие выражения:

1) для передаточной функции РН

, (2.49)

где Т_он=С₁R₃ - постоянная времени в обратной связи регулятора; Т_ин=С₁R₁ - постоянная интегрирования регулятора;

2) для передаточной функции обратной связи по напряжению

, (2.50)
где k_и=k_дн×k_п - коэффициент передачи измерителя напряжения;

- коэффициент передачи датчика напряжения ДН-2;

- коэффициент передачи потенциометра;

3) для передаточной функции обратной связи по току

, (2.51)

где T₁=R₁×C₂; T₂=C₂×R₄;

k_i=k_дт×k_ш= - коэффициент передачи измерителя тока;

k_дт - коэффициент передачи датчика тока;

- коэффициент передачи шунта.

Задатчик интенсивности при единичном входном воздействии можно представить передаточной функцией

, (2.52)

Соединяя звенья с передаточными функциями (2.35, 2.39, 2.43, 2.49, 2.50, 2.51, 2.52) в последовательности обусловленной принципиальной схемой, получим структурную схему САУ, представленную на рисунке 2.6