Случай специальной правой части

Общий вид:

у¢¢ + а1у¢ + а2у = f(x), (14)

где случай специальной правой части - student2.ru . (15)

Здесь Pm(x) и Qn(x) - алгебраические многочлены степеней соответственно m и n.

В этом случае общее решение (14) получается как сумма общего решения (13) и какого-либо частного решения (14): уо. н. = уо. о. + уч. н..

Покажем, как находить уч. н., когда f(х) имеет вид (15). Исходя из конкретного вида (15), составляется число случай специальной правой части - student2.ru . Далее ставится вопрос: является ли случай специальной правой части - student2.ru корнем характеристического уравнения (13¢). Здесь возможны 3 случая, для каждого из которых строится уч. н..

Объединим эти случаи в табл.2.

Таблица 2.

Число случай специальной правой части - student2.ru Вид уч. н.
1. Не является корнем характеристического уравнения уч. н. = случай специальной правой части - student2.ru
2. Является корнем характеристического равнения кратности 1 уч. н. = случай специальной правой части - student2.ru
3. Является корнем характеристического уравнения кратности 2 случай специальной правой части - student2.ru уч. н. = случай специальной правой части - student2.ru

Здесь случай специальной правой части - student2.ru - алгебраические многочлены степени случай специальной правой части - student2.ru , где случай специальной правой части - student2.ru = max(m, n). Коэффициенты случай специальной правой части - student2.ru находятся методом неопределенных коэффициентов так, как это показано на следующем примере.

ПРИМЕР. у¢¢ - 4у = х - 1.

Это - неоднородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами и со стандартной правой частью.

Характеристическое уравнение: к2 - 4 = 0. к1 = 2, к2 = -2.

уо. о. = С1e + С2e-2х (случай (а) табл.1).

Составляем случай специальной правой части - student2.ru . Т. к. здесь a = 0 и b = 0, то случай специальной правой части - student2.ru = 0; число 0 не является корнем характеристического уравнения, т. е. Это 1-й случай табл. 2. Следовательно, уч. н. = Ах + В (здесь А и В - неизвестные коэффициенты. Найдем их.) . Подставим уч. н. в исходное уравнение. Т. к. у¢ч. н. = А , у¢¢ч. н. = 0, то

-4 * (Ах + В) = х - 1.

Приравниваем слева и справа коэффициенты при одинаковых степенях Х (в этом и заключается метод неопределенных коэффициентов).

случай специальной правой части - student2.ru .

Итак, уч. н. = случай специальной правой части - student2.ru . Тогда уо. н. = уо. о. + уч. н. = случай специальной правой части - student2.ru - есть общее решение исходного уравнения.

ЗАДАЧА № 3

1. случай специальной правой части - student2.ru ; 2. случай специальной правой части - student2.ru ;

3. случай специальной правой части - student2.ru .

1. Характеристическое уравнение:

случай специальной правой части - student2.ru

случай специальной правой части - student2.ru ч.н. случай специальной правой части - student2.ru (1).

Подставим (1) в исходное уравнение

.
случай специальной правой части - student2.ru

Отсюда находим А, и уо.н. = уо.о. + уч.н. .

2. Характеристическое уравнение:

случай специальной правой части - student2.ru

Т.к. случай специальной правой части - student2.ru - не является корнем характеристического уравнения, то

уч.н. = Ах + В (2).

Подставим (2) в исходное уравнение -2а12А + а212 (Ах + В ) = а13х + а23,

методом неопределенных коэффициентов находим А и В, и уо.н. = уо.о. + уч.н. .

3. Характеристическое уравнение: к2 + а13к = 0, к1 = 0, к2 = -а13;

уо.о. = С1 + С2 * случай специальной правой части - student2.ru .

Т.к. случай специальной правой части - student2.ru - не является корнем характеристического уравнения, то

уч.н. = случай специальной правой части - student2.ru (3).

Подставим (3) в исходное уравнение:

случай специальной правой части - student2.ru

Находим коэффициенты А и В методом неопределенных коэффициентов, и

уо.н. = уо.о. + уч.н. .

ПОЯСНЕНИЕ

Номер варианта в контрольных работах № 3, №4 совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки.

№ варианта а11 а12 а13 а21 а22 а23 а31 а32 а33 в1 в2 в3
-2 -4 -6 -8 -6
-9 -7 -12
-6 -8 -10 -3
-6 -3 -7
-2 -7
-7 -2
-4 -9 -8
-6 -4 -5 -6 -1
-1 -4 -2
-5 -1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА «ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО

ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

(часть 2)

Наши рекомендации